שאלה בדינמיקה
- פותח הנושא asnakocc1
- פורסם בתאריך
Schrodingers Dog
New member
שאלה יפה
מודה אפילו שלקח לי כמה דקות כדי להבין מה עושים. אז מה קורה? בהתחלה דוחפים את m2 למטה, מרחק דלתא. בשלב הזה עוזבים, הקפיץ מתרחב, m2 חוזרת למקום המקורי אבל ממשיכה להתקדם יותר גבוה מהגובה שלה במנוחה (למה?) וסה״כ עולה לגובה שנקרא לו דלתא2 מעל מיקום המנוחה שלה ונעצר שם. בשלב הזה הקפיץ גם מתוח ומפעיל כוח על המסה התחתונה - מספיק כוח כדי שהיא תתחיל להתרומם כלומר הכוח של הקפיץ גדול או שווה (אנחנו ניקח שווה כי רוצים משהו מינימלי בסופו של דבר) לכח שהכבידה מפעילה על המסה m1.
מתמטית יש פה שתי משוואות. משוואה ראשונה היא שימור אנרגיה מהרגע שעוזבים את המערכת אחרי שכיווצנו אותה דלתא למטה עד הרגע שהמסה m2 עולה לגובה של דלתא2. משוואה שנייה היא משוואת כוחות של הקפיץ שמתחו אותו דלתא2 בהשוואה לכוח הכבידה על המסה התחתונה. 2 נעלמים: דלתא, דלתא2 בשתי משוואות ופותרים ומקבלים את התשובה שמסומנת בצהוב.
מודה אפילו שלקח לי כמה דקות כדי להבין מה עושים. אז מה קורה? בהתחלה דוחפים את m2 למטה, מרחק דלתא. בשלב הזה עוזבים, הקפיץ מתרחב, m2 חוזרת למקום המקורי אבל ממשיכה להתקדם יותר גבוה מהגובה שלה במנוחה (למה?) וסה״כ עולה לגובה שנקרא לו דלתא2 מעל מיקום המנוחה שלה ונעצר שם. בשלב הזה הקפיץ גם מתוח ומפעיל כוח על המסה התחתונה - מספיק כוח כדי שהיא תתחיל להתרומם כלומר הכוח של הקפיץ גדול או שווה (אנחנו ניקח שווה כי רוצים משהו מינימלי בסופו של דבר) לכח שהכבידה מפעילה על המסה m1.
מתמטית יש פה שתי משוואות. משוואה ראשונה היא שימור אנרגיה מהרגע שעוזבים את המערכת אחרי שכיווצנו אותה דלתא למטה עד הרגע שהמסה m2 עולה לגובה של דלתא2. משוואה שנייה היא משוואת כוחות של הקפיץ שמתחו אותו דלתא2 בהשוואה לכוח הכבידה על המסה התחתונה. 2 נעלמים: דלתא, דלתא2 בשתי משוואות ופותרים ומקבלים את התשובה שמסומנת בצהוב.
גם אני הלכתי ככה אבל לא יצא לי כדרוש
כמה שאלות הבהרה
1. האם הכוח שפועל על המאסה התחתונה הוא K כפול דלתא 2 ולא צריך להתחשב גם בזה שהקפיץ גם דוחף את המאסה העליונה ? כי הרי הקפיץ - בו זמנית - מושך את המאסה התחתונה ודוחף את המאסה העליונה.האם לא צריך להתייחס לקפיץ כאילו שתי המאסות מחוברות במקביל?
2. אני עשיתי שימור אנרגיה: אמרתי שהאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ הדחוס שווה לאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ המתוח בתוספת האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של המראסה העליונה. האנרגיה הכובדית הזאת שווה למאסה העליונה כפול דלתא 1 פלוס דלתא שתים. ואז אני מקבל משוואה עם דלתא 2 בריבוע יחד עם דלתא 2 בחזקה 1 ולא מתקבלת התשובה של הספר.
איפה אני טועה ??
1. האם הכוח שפועל על המאסה התחתונה הוא K כפול דלתא 2 ולא צריך להתחשב גם בזה שהקפיץ גם דוחף את המאסה העליונה ? כי הרי הקפיץ - בו זמנית - מושך את המאסה התחתונה ודוחף את המאסה העליונה.האם לא צריך להתייחס לקפיץ כאילו שתי המאסות מחוברות במקביל?
2. אני עשיתי שימור אנרגיה: אמרתי שהאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ הדחוס שווה לאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ המתוח בתוספת האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של המראסה העליונה. האנרגיה הכובדית הזאת שווה למאסה העליונה כפול דלתא 1 פלוס דלתא שתים. ואז אני מקבל משוואה עם דלתא 2 בריבוע יחד עם דלתא 2 בחזקה 1 ולא מתקבלת התשובה של הספר.
איפה אני טועה ??
Schrodingers Dog
New member
תשובה
אפשר להשתכנע שההיסט המינימלי יוביל לכך שיש רגע בו המסה העליונה מתרוממת דלתא2 מנקודת המנוחה, הקפיץ מתוח ורוצה להתכווץ ומתחיל למשוך את המסה התחתונה מהרצפה. זה רגע מיוחד וקורה רק אם אנחנו מסתכלים על דחיפה ראשונית מינימלית. עבור דחיפה יותר חזקה המסה העליונה תתרומם ותמשוך איתה ביחד את המסה התחתונה והחישוב יהיה מסובך יותר. לכן מבקשים היסט מינימלי.
 
בנוסף איך קפיץ שמשכו אותו והוא מתוח יכול לדחוף? הוא רוצה להתכווץ בחזרה.
 
בקשר לסעיף שתיים, מה שאתה מתאר היא משוואה ריבועית. פה יש הסבר ונוסחה לאיך פותרים דברים כאלה
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
 
אחרי שפותרים מקבלים את הפתרון הצהוב.
אפשר להשתכנע שההיסט המינימלי יוביל לכך שיש רגע בו המסה העליונה מתרוממת דלתא2 מנקודת המנוחה, הקפיץ מתוח ורוצה להתכווץ ומתחיל למשוך את המסה התחתונה מהרצפה. זה רגע מיוחד וקורה רק אם אנחנו מסתכלים על דחיפה ראשונית מינימלית. עבור דחיפה יותר חזקה המסה העליונה תתרומם ותמשוך איתה ביחד את המסה התחתונה והחישוב יהיה מסובך יותר. לכן מבקשים היסט מינימלי.
 
בנוסף איך קפיץ שמשכו אותו והוא מתוח יכול לדחוף? הוא רוצה להתכווץ בחזרה.
 
בקשר לסעיף שתיים, מה שאתה מתאר היא משוואה ריבועית. פה יש הסבר ונוסחה לאיך פותרים דברים כאלה
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
 
אחרי שפותרים מקבלים את הפתרון הצהוב.
בוא תגיד לי איפה אני טועה ומה אתה עשית שונה ממני
δ1 - אורך הדחיסה הראשונית של הקפיץ
δ2 - אורך ההתארכות של הקפיץ כלפי מעלה, מעבר לנקודת שיווי המשקל.
הקפיץ נדחס באורך התכווצות של δ1. כאשר משחררים אותו, הקפיץ משתחרר, עובר את נקודת שיווי המשקל בכיוון מעלה ועולה בעוד δ2 מעל לנקודת שיווי המשקל.
הדחיסה המינימלית תתרחש כאשר:
א. המאסה m1 היא על סף התרוממות מן הקרקע, כלומר כאשר
(1) k*δ2 - m1g = 0
ב. האנרגיה האגורה בקפיץ בדחיסה מספיקה להתארכות הקפיץ ב δ2 כדי לאפשר את הרמת m1 פלוס האנרגיה האגורה בקפיץ בשלב ההתארכות פלוס השינוי באנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של m2. אם הדחיסה מינימלית, אזי האנרגיה ההתחלתית של הקפיץ בשלב הדחיסה תקנה ל m2 רק אנרגיה פוטנציאלית אך לא אנרגיה קינטית. מתקיים שימור אנרגיה כלומר
(2) 0.5kδ1² = 0.5kδ2² + m2g*(δ2+δ1) + 0
מן המשוואה הראשונה
δ2 = m1g/k
נציב במשוואה השנייה
(3) 0.5kδ1² = 0.5k*(m1g)²/k² + m2g(m1g/k +δ1)
מן המשוואה הריבועית הזאת לא מתקבלת התשובה של הספר. אז אנא תגיד לי איפה טעיתי ומה אתה עשית שונה ממני.
δ1 - אורך הדחיסה הראשונית של הקפיץ
δ2 - אורך ההתארכות של הקפיץ כלפי מעלה, מעבר לנקודת שיווי המשקל.
הקפיץ נדחס באורך התכווצות של δ1. כאשר משחררים אותו, הקפיץ משתחרר, עובר את נקודת שיווי המשקל בכיוון מעלה ועולה בעוד δ2 מעל לנקודת שיווי המשקל.
הדחיסה המינימלית תתרחש כאשר:
א. המאסה m1 היא על סף התרוממות מן הקרקע, כלומר כאשר
(1) k*δ2 - m1g = 0
ב. האנרגיה האגורה בקפיץ בדחיסה מספיקה להתארכות הקפיץ ב δ2 כדי לאפשר את הרמת m1 פלוס האנרגיה האגורה בקפיץ בשלב ההתארכות פלוס השינוי באנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של m2. אם הדחיסה מינימלית, אזי האנרגיה ההתחלתית של הקפיץ בשלב הדחיסה תקנה ל m2 רק אנרגיה פוטנציאלית אך לא אנרגיה קינטית. מתקיים שימור אנרגיה כלומר
(2) 0.5kδ1² = 0.5kδ2² + m2g*(δ2+δ1) + 0
מן המשוואה הראשונה
δ2 = m1g/k
נציב במשוואה השנייה
(3) 0.5kδ1² = 0.5k*(m1g)²/k² + m2g(m1g/k +δ1)
מן המשוואה הריבועית הזאת לא מתקבלת התשובה של הספר. אז אנא תגיד לי איפה טעיתי ומה אתה עשית שונה ממני.
Schrodingers Dog
New member
הכל זהה
נסה פיתוח בינום למה שבתוך השורש, אולי זה יעזור.
נסה פיתוח בינום למה שבתוך השורש, אולי זה יעזור.
אפשר שאלה על הפיתרון שלכם?
למה לא החשבתם את הכיווץ הראשוני של המסה העליונה?הרי במצב אנכי כשלוחצים את הקפיץ אז הוא נלחץ לא רק בדלתא אלא גם ב M2*G/K, בגלל המסה העליונה.... לא? ואז יוצאות משוואות דומות בתוספת של M2*G/K..... אני יושב על זה מאתמול ואני לא מבין למה לא יוצא לי ועכשיו אני רואה שאתם לא החשבתם את הדבר הזה בכלל. אז איפה טעיתי?
תודה.
למה לא החשבתם את הכיווץ הראשוני של המסה העליונה?הרי במצב אנכי כשלוחצים את הקפיץ אז הוא נלחץ לא רק בדלתא אלא גם ב M2*G/K, בגלל המסה העליונה.... לא? ואז יוצאות משוואות דומות בתוספת של M2*G/K..... אני יושב על זה מאתמול ואני לא מבין למה לא יוצא לי ועכשיו אני רואה שאתם לא החשבתם את הדבר הזה בכלל. אז איפה טעיתי?
תודה.
Schrodingers Dog
New member
לא מבין
תוכל להסביר שוב מה לא נלקח בחשבון? כח, אנרגיה? הביטוי שרשמת הוא ביחידות של אורך אז למה הוא קשור?
תוכל להסביר שוב מה לא נלקח בחשבון? כח, אנרגיה? הביטוי שרשמת הוא ביחידות של אורך אז למה הוא קשור?
......
נסתכל על המצב ההתחלתי לפני הלחיצה. המסה M2 לוחצת על הקפיץ ומכווצת אותו ב M2*G/K.
עכשיו לחצנו על המסה העליונה וכיווצנו בעוד דלתא. עכשיו הקפיץ סה"כ התכווץ בדלתא ועוד משהוא כבר היה מכווץ, שזה דלתא ועוד M2*G/K. ולכן האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ היא לא סתם דלתא בריבוע כפול K חלקי 2. אלא צריך להוסיף את האורך שהוא כבר היה מכווץ כי זה מגדיל את האנרגיה הפוטנציאלית..... או שאני לגמרי לא מבין את הנושא?...
תודה.
נסתכל על המצב ההתחלתי לפני הלחיצה. המסה M2 לוחצת על הקפיץ ומכווצת אותו ב M2*G/K.
עכשיו לחצנו על המסה העליונה וכיווצנו בעוד דלתא. עכשיו הקפיץ סה"כ התכווץ בדלתא ועוד משהוא כבר היה מכווץ, שזה דלתא ועוד M2*G/K. ולכן האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ היא לא סתם דלתא בריבוע כפול K חלקי 2. אלא צריך להוסיף את האורך שהוא כבר היה מכווץ כי זה מגדיל את האנרגיה הפוטנציאלית..... או שאני לגמרי לא מבין את הנושא?...
תודה.
Schrodingers Dog
New member
שימור אנרגיה
השגיאה שלך היא עדינה אך חשוב מאד להבין אותה. כאשר רושמים משוואת שימור אנרגיה, בוחרים 2 רגעים בזמן כאשר האנרגיה לא משתנה ביניהם ואז אפשר לרשום את האנרגיה של המערכת ברגע הראשון, האנרגיה של המערכת ברגע השני ולהשוות ביניהם.
 
במקרה שלך בחרת להסתכל על הקפיץ לפני ואחרי שמתחו אותו. המתיחה של הקפיץ דורשת אנרגיה או במילים אחרות מישהו בא ומתח את הקפיץ והשקיע אנרגיה במערכת. האנרגיה הזאת לא מופיעה אצלך במשוואות ולכן אתה לא מקבל את התשובה הנכונה.
 
יש לך 2 אופציות: להסתכל על המערכת רק אחרי שכבר מתחו את הקפיץ - כלומר לשכוח מכל מה שקרה לפני זה. האופציה השנייה היא לרשום בצורה מפורשת את האנרגיה הדרושה כדי למתוח את הקפיץ כפי שנתון בשאלה, ואז להוסיף את זה למשוואות שלך. בשתי האופציות בסוף זה מתבטל - אתה מוזמן לנסות בעצמך.
השגיאה שלך היא עדינה אך חשוב מאד להבין אותה. כאשר רושמים משוואת שימור אנרגיה, בוחרים 2 רגעים בזמן כאשר האנרגיה לא משתנה ביניהם ואז אפשר לרשום את האנרגיה של המערכת ברגע הראשון, האנרגיה של המערכת ברגע השני ולהשוות ביניהם.
 
במקרה שלך בחרת להסתכל על הקפיץ לפני ואחרי שמתחו אותו. המתיחה של הקפיץ דורשת אנרגיה או במילים אחרות מישהו בא ומתח את הקפיץ והשקיע אנרגיה במערכת. האנרגיה הזאת לא מופיעה אצלך במשוואות ולכן אתה לא מקבל את התשובה הנכונה.
 
יש לך 2 אופציות: להסתכל על המערכת רק אחרי שכבר מתחו את הקפיץ - כלומר לשכוח מכל מה שקרה לפני זה. האופציה השנייה היא לרשום בצורה מפורשת את האנרגיה הדרושה כדי למתוח את הקפיץ כפי שנתון בשאלה, ואז להוסיף את זה למשוואות שלך. בשתי האופציות בסוף זה מתבטל - אתה מוזמן לנסות בעצמך.
תגובה.....
הבנתי מה שאתה אומר, אבל זה לא משעשיתי. אולי לא הסברתי את עצמי טוב. גם אני התסכלתי רק על המצב שהקפיץ לחוץ והשוואתי למצב שבו הקפיץ נמתח למעלה והשוואתי את האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ הלחוץ לאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ כשהוא נמתח ועוד האנרגיה הפוטנציאלית של המסה העליונה בגלל הגובה. זה לא שהתסכלתי על הקפיץ לפני ואחרי הלחיצה כי ברור לי שזו לא אותה אנרגיה. מה שאני מתכוון שבמצב הרגיל לפני הלחיצה המסה העליונה לוחצת על הקפיץ, וכשאנחנו לוחצים עוד דלתא כלפי מטה אז סה"כ הקפיץ התכווץ לא בסתם דלתא אלא בדלתא ועוד מה שהקפיץ כבר היה מכווץ, כלומר M2*G/K. זאת אומר שסה"כ האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ הלחוץ היא:
X^2*K/2 כאשר האורך X הוא דלתא פלוס M2*G/2.
עכשיו בחלק השני של המשוואה התיחסתם לm2g*(?2+?1 בתור אנרגיה פוטנציאלית כובדית, אבל לזה חייבים לאוסיף באורך את M2*G/K מכיוון שלא מספיק שהקפיץ יעבור את שיווי המשקל שלו במצב מנוחה אלא שהקפיץ יתארך מעבר לאורכו ללא המסה העליונה בכלל, כדי שהכוח ימתח את המסה התחתונה כלפי מעלה. אני מקווה שהצלחתי להסביר למה אני מתכוון,
תודה רבה.
הבנתי מה שאתה אומר, אבל זה לא משעשיתי. אולי לא הסברתי את עצמי טוב. גם אני התסכלתי רק על המצב שהקפיץ לחוץ והשוואתי למצב שבו הקפיץ נמתח למעלה והשוואתי את האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ הלחוץ לאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ כשהוא נמתח ועוד האנרגיה הפוטנציאלית של המסה העליונה בגלל הגובה. זה לא שהתסכלתי על הקפיץ לפני ואחרי הלחיצה כי ברור לי שזו לא אותה אנרגיה. מה שאני מתכוון שבמצב הרגיל לפני הלחיצה המסה העליונה לוחצת על הקפיץ, וכשאנחנו לוחצים עוד דלתא כלפי מטה אז סה"כ הקפיץ התכווץ לא בסתם דלתא אלא בדלתא ועוד מה שהקפיץ כבר היה מכווץ, כלומר M2*G/K. זאת אומר שסה"כ האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ הלחוץ היא:
X^2*K/2 כאשר האורך X הוא דלתא פלוס M2*G/2.
עכשיו בחלק השני של המשוואה התיחסתם לm2g*(?2+?1 בתור אנרגיה פוטנציאלית כובדית, אבל לזה חייבים לאוסיף באורך את M2*G/K מכיוון שלא מספיק שהקפיץ יעבור את שיווי המשקל שלו במצב מנוחה אלא שהקפיץ יתארך מעבר לאורכו ללא המסה העליונה בכלל, כדי שהכוח ימתח את המסה התחתונה כלפי מעלה. אני מקווה שהצלחתי להסביר למה אני מתכוון,
תודה רבה.
לא
במשוואה הראשונה אנו מדברים על כוחות. הכוח שנדרש כדי להרים את המאסה התחתונה הוא K כפול ההתארכות של הקפיץ. ההתארכות הזאת δ2 נמדדת מנקודת שיווי המשקל המקורית (לפני הדחיסה) ועד לנקודה הגבוהה ביותר שבה מגיעה m2. כל האורך בין הנקודה התחתונה לבין נקודת שיווי המשקל לא נכנס לחשבון כיוון שבקטע הזה הקפיץ מכווץ ולא מתוח. בהיותו מכווץ הוא לא יכול למשוך למעלה את המאסה התחתונה.
המשוואה השנייה עוסקת בשימור אנרגיה. חוץ מן האנרגיות האגורות בקפיץ, יש גם שינוי באנרגיה הפוטנציאלית הכובדית. אם ניקח כמפלס ייחוס את המיקום בנקודת הדחיסה התחתונה, אזי השינוי בגובה הוא מן הנקודה התחתונה ועד לנקודת שיווי המשקל פלוס מרחק העלייה מנקודת שיווי המשקל ועד לנקודה העליונה ביותר במצב של מתיחות בקפיץ. כלומר השינוי בגובה הוא δ1+δ2..
במשוואה הראשונה אנו מדברים על כוחות. הכוח שנדרש כדי להרים את המאסה התחתונה הוא K כפול ההתארכות של הקפיץ. ההתארכות הזאת δ2 נמדדת מנקודת שיווי המשקל המקורית (לפני הדחיסה) ועד לנקודה הגבוהה ביותר שבה מגיעה m2. כל האורך בין הנקודה התחתונה לבין נקודת שיווי המשקל לא נכנס לחשבון כיוון שבקטע הזה הקפיץ מכווץ ולא מתוח. בהיותו מכווץ הוא לא יכול למשוך למעלה את המאסה התחתונה.
המשוואה השנייה עוסקת בשימור אנרגיה. חוץ מן האנרגיות האגורות בקפיץ, יש גם שינוי באנרגיה הפוטנציאלית הכובדית. אם ניקח כמפלס ייחוס את המיקום בנקודת הדחיסה התחתונה, אזי השינוי בגובה הוא מן הנקודה התחתונה ועד לנקודת שיווי המשקל פלוס מרחק העלייה מנקודת שיווי המשקל ועד לנקודה העליונה ביותר במצב של מתיחות בקפיץ. כלומר השינוי בגובה הוא δ1+δ2..
זה בדיוק מה שאני אומר....
בשאלה כתוב שלחצנו דלתא בנוסף למה שהוא היה מכווץ, כמובן שהכח מחושב עם האורך לאחר ההתארכות, ולכן סה"כ האורך הוא לא דלתא פלוס דלתא 2 אלא דלתא פלוס דלתא 2 פלוס M2*G/K שזה הכיווץ הראשוני. אני מוסיף ציור, החלק הכחול מסמן את הכיווץ בגלל המשקל של המסה העליונה.כלומר M2*G/K. החלק הירוק זה הדלתא שבשאלה. והחלק האדום זה ההתארכות שמושכת את המסה התחתונה. אז הגובה של המסה התחתונה זה לא דלתא פלוס דלתא 2 אלא שילוב של דלתא 2 דלתא 1 והכיווץ הראשוני.
תודה על ההתיחסות.
בשאלה כתוב שלחצנו דלתא בנוסף למה שהוא היה מכווץ, כמובן שהכח מחושב עם האורך לאחר ההתארכות, ולכן סה"כ האורך הוא לא דלתא פלוס דלתא 2 אלא דלתא פלוס דלתא 2 פלוס M2*G/K שזה הכיווץ הראשוני. אני מוסיף ציור, החלק הכחול מסמן את הכיווץ בגלל המשקל של המסה העליונה.כלומר M2*G/K. החלק הירוק זה הדלתא שבשאלה. והחלק האדום זה ההתארכות שמושכת את המסה התחתונה. אז הגובה של המסה התחתונה זה לא דלתא פלוס דלתא 2 אלא שילוב של דלתא 2 דלתא 1 והכיווץ הראשוני.
תודה על ההתיחסות.
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.