שאלה בוקטורים

[deddy]

שאלה בוקטורים

הוכיחו:
אם aXb+bXc+cXa=0 אזי a,b,c קופלנריים (באותו מישור).

a,b וc הם וקטורים, הX אמור לסמל את המכפלה הוקטורית.

אני חושב שאני כן הצלחתי להוכיח את זה, אבל נוצר אצלנו בקבוצת פייסבוק של המחלקה ויכוח האם ההוכחה הזאת נכונה והאם בכלל התרגיל באמת צריך להוכיח שזה נכון או להפריך את זה.

התשובה שלי היתה:
1. נתון aXb+bXc+cXa=0
2. מכאן נובע שהווקטור aXb הווקטור bXc והווקטור cXa על אותו מישור. (יכולים ליצור משולש ויכולים ליצור קו ישר שמגיע וחוזר לאותה נקודה, זה לא רלוונטי).
3א. יש לנו את הוקטור aXb, הוקטור a והוקטור b מאונכים אליו מהגדרת מכפלה וקטורית.
3ב. יש לנו את הוקטור bXc, הוקטור b והוקטור c מאונכים אליו מהגדרת מכפלה וקטורית.
3ג. יש לנו את הוקטור cXa, הוקטור c והוקטור a מאונכים אליו מהגדרת מכפלה וקטורית.

4א. מ3א. אנחנו יודעים שהוקטורים a וb יוצרים מישור כלשהו.
4ב. מ3ב. אנחנו יודעים שהוקטורים b וc יוצרים מישור כלשהו.
4ג. מ3ג. אנחנו יודעים שהוקטורים c וa יוצרים מישור כלשהו.

5. משילוב של 4א. ו4ב. ו4ג. אנחנו יודעים ששלושת הוקטורים a,b ו-c יוצרים מישור אחד, אחרת הם לא יכולים להתקיים בו זמנית.


תודה רבה!

 

[עעעערררר]

ההוכחה שגויה

המעבר מ-4 ל-5 שגוי. קח למשל וקטורי יחידה של שלושת הצירים - 4 מתקיים ו-5 לא.

הטענה נראית לי נכונה (למרות שהמון זמן לא התעסקתי בזה):
אם שלושת הווקטורים יוצרים ישר שמגיע וחוזר (האפשרות השנייה בצעד 2), הטענה טריוויאלית.
אם הם יוצרים משולש לא מנוון אז נסתכל על המישור של המשולש:
a מאונך לשני וקטורים בת"ל במישור הזה, ולכן מאונך למישור.
כנ"ל לגבי b ו-c.
מכאן שהווקטורים a,b,c לא רק באותו מישור, אלא אפילו מקבילים זה לזה! (כמובן, המשולש יהיה מאוד מנוון, מה שסותר את המקרה הזה)

 

[deddy]

וקטורי היחידה באמת מאונכים זה לזה, אבל

הם לא מאונכים לאותו מישור, ולפי מה שאני מבין, מטענות מספר 3 אנחנו יכולים להבין ששלושת הווקטורים a, b וc מאונכים לאותו מישור (המישור שיצרו הוקטורים של המכפלות הווקטוריות), ואת זה וקטורי היחידה לא מקיימים.

 

[עעעערררר]

זה מעבר אחר

תבדיל בין "מאונך לווקטור במישור" ובין "מאונך למישור".
טענה 3 היא שהם מאונכים לווקטורים שונים באותו מישור, וזה לא גורר כלום.

(למשל, אם המישור הוא xy, אז x מאונך ל-5y, גם y מאונך ל-3x, ואילו z מאונך לוקטור rr-3x-5y, ושלושתם ביחד יוצרים משולש)