שאלה במבנים אלגבריים

[גרעאפס]

שאלה במבנים אלגבריים

אני צריך לומר אם קבוצת הממשיים האי-רציונליים (R-Q) בצירוף המספר 1 עם פעולת הכפל הרגיל היא גרופואיד, אגודה, מונואיד, חבורה או לא כלום. קשה לי להחליט אם הקבוצה סגורה ביחס לפעולה. האם ייתכן שמכפלת שני אי-רציונליים תתן רציונלי? וגם האם כל איבר הפיך, האם אפשר להגיע מכל מספר אי-רציונלי ל-1? שאלות מפגרות אמנם, אולם אינני בטוח לגביהם... תודה לכל העוזר.

 

[GalRatz]

תשובה

בקשר לשאלה הראשונה - ברור שמכפלת שני אי רציונליים יכולה לתת מספר רציונלי, לדוגמה שורש 2 כפול שורש 8 נותן 4. בקשר לשאלה השנייה, אם הבנתי נכון את כוונתך, אתה שואל אם לכל רציונלי יש הפכי שהוא גם רציונלי - אז לדעתי כן (לא בטוח ב 100 אחוז) כי ההפכי של רציונלי חייב להיות גם רציונלי, ולא יכול להיות אי רציונלי, לכן ההפכי של אי רציונלי חייב להיות גם כן אי רציונלי.

 

[yontanbn]

אכן...

זה נכון... יהי איקס אי-רציונלי נניח שההופכי של איקס הוא רציונלי. אזי נסתכל על ההופכי של ההופכי של איקס (כמובן כל ההסתכלות היא בממשיים שם לכל מספר יש הופכי), זה בוודאי שווה לאיקס, אבל מצד שני ההופכי של מספר רציונלי הוא רציונלי, ולכן יש לנו סתירה. לכן, אכן זה סגור תחת כפל, ואכן יש לכל איבר הופכי.

 

[yontanbn]

תיקון טעות

יש הופכי אבל כמובן *לא* סגור תחת כפל, הדוגמאות שנתנו כאן מבהירות את זה. אי-רציונלי כפול אי-רצינולי בהחלט יכול לתת רציונלי. אגב, אתגר מעניין הוא להראות את זה בחזקות. הראו שחזקה של אי רציונלי באי-רציונלי יכולה לתת רציונלי...

 

[Deathatred]

תשובה

נוכיח שאם X אי-רציונלי אזי גם ההופכי שלו אי-רציונלי. יהי X מספר רציונלי. נניח בשלילה שההופכי שלו רציונלי (כלומר, אינו אי-רציונלי). אזי X^-1=P/q כאשר P ו Q טבעיים. מכאן ברור ש X=q/P. אבל זה אומר ש X רציונלי, בסתירה לכך ש X הוא אי-רציונלי. לכן ההופכי של X הוא אי-רציונלי. מכאן, שלכל איבר בקבוצה הנ"ל יש הופכי. יונתן טעה כאן, כי למרות שלכל איבר יש הופכי הקבוצה הנ"ל לא סגורה תחת כפל. שורש שתיים (מספר אי-רציונלי לכל הדעות) כפול שורש שתיים נותן שתיים (שזה מספר רציונלי מאוד). לכן הקבוצה הנ"ל אפילו לא גרופואיד. איתי הר-אבן שולט! והמבין יבין...

 

[Deathatred]

היא לא סגורה

שורש שתיים (לא רציונלי) כפול שורש שתיים נותן שתיים (רציונלי).