שאלה בקשר לגיאומטריה מינקובסקית (פסאדו אוקלדי

[AnarchistPhilosopher]

שאלה בקשר לגיאומטריה מינקובסקית (פסאדו אוקלדי

למדנו שבגיאומטריה הזו המכפלה הסקלארית מוגדרת לפי כך ש: A=(x,y,z,t)dd B=(x',y',z',t')dd A*B=(tt'-xx'-yy'-zz')dd עכשיו שאלתי כיצד מצדיקים את זה מבחינה מתמטית (אם השאלה לא מתאימה לכאן פשוט תפנו אותי למקום המתאים, אני לא בטו שפורום 457 מתאים לזה, כי למדתי את זה בהקשר של יחסות פרטית), כלומר המכפלה הסקלארית היא סוג של מכפלה פנימית, עכשיו אפשר להמשיך ולטעון שמדובר באותה מכפלה סקלארית אם מציבים בקואורדינטות המתאימות את i, עכשיו מבחינה מתמטית זה אומר שזו מכפלה פנימית מעל C, אבל אני לא בטוח שזה מתאים,כי לוקחים את הצמוד המתאים (במכפלה סטנדרטית מעל C), בכל אופן אני רואה שאפשר להסתדר עם זה, אבל בשביל זה צריך להוסיף את הקבוע i, מלבד השימוש ביחסות פרטית יש שימוש גם במתמטיקה נטו בהדרה כזו של מכפלה סקלארית, כלומר אפשר להרחיב את זה ל-5 וקטור, וגם מתחת ל-3 וקטור, אבל אז כמו שהמרצה שלי ללינארית אומר, מה הטעם הגיאומטרי בזה?

 

[אחמס1]

זאת מכפלה סקלרית תחת מטריקה

מבחינת מתמטית זאת כמעט מכפלה פנימית לכל דבר, שכן: 1. מכפלה שווה לצמוד של המכפלה ההפוכה (הכל במילא ממשי כך שזה שווה ממש) 2. לינארית 3. מכפלת איבר בעצמו לא בהכרח חיובית

מטריקת מינקובסקי היא לא עונה על ההגדרה המתמטית של מטריקה מפני שהאורכים בה (אינטרוואלים בשפת הפיזיקאים) יכולים להיות שליליים. אומרים על המטריקה שהיא לא positive definite. לגבי הוספת ה-i, אתה צודק לחלוטין, ויש כאלה שבאמת עושים את זה. זה גם מאוד עוזר כי בחישובים קצת יותר מורכבים הוקטורים מסתווגים לקו-ווריאנטים וקונטרא-וריאנטים, ושימוש במטריקה "1111" (כלומר R^4) עם זמן מדומה (t=>it) חוסך את הסיווג הזה. עם זאת, זו לא מכפלה פנימית מעל C, כי אחרי הכל תוצאת המכפלה ורכיבי הוקטורים תמיד ממשיים, ה-i הוא לא יותר מטריק שהוכנס לשם ואין סיבה להרחיב בשבילו את ההגדרה.

 

[mbrv]

זה מכפלה סקאלארית כי...

לפי טרנספורמציות לורנץ ( טרנספורמציות שבהנתן 4 וקטור (t,x,y,z) הן שומרות על הגודל t^2-r^2) אתה יכול לראות שרק לפי ההגדרה הזו של מכפלה סקאלארית תקבל כי באמת המכפלה של שני הארבע וקטורים היא סקאלאר כלומר לא משתנה תחת טרנספ' לורנץ.