שאלה טובה

[s0uljacker]

שאלה טובה

נניח - x^y = y^x קל לראות שהמספרים יכולים 2,4 יקיימו את המשוואה או ש: x=y האם ישנו עוד זוג מספרים (לאו דווקא שלמים!!!) שיקיים את המשוואה? ההגיון (שלי) אומר: בוודאי! אין סוף זוגות אם כך - האם ישנה חוקיות מסויימת עבורה היחס יתקיים? אני מקווה שאני ברור.....

 

[yontanbn]

אכן אינסוף...

ניקח x... לשם פשטות נניח שהוא גם גדול מ-4 טענתי היא שקיים y כך שזה מתקיים, פרט לy=x, כמובן. נסתכל על הפונקציה x בחזקת y מינוס y בחזקת x, כפונקציה של y (כי איקס קבוע). בנקודה y=0 הפונקציה מקבלת 1, בנקודה y=2 הפונקציה מקבלת איזשהו מספר שלילי (קל לבדוק זאת), ולכן איפשהו בין 0 ל2, בגלל שהפונקציה רציפה, קיים מספר עבורו הפונקציה מקבלת אפס, כלומר x בחזקת y שווה לy בחזקת x.

 

[s0uljacker]

מה אפשר לומר על המספרים או על היחס

בינהם? האם איזשהו יחס x/y ? אולי הם יוצרים איזשהי סידרה? האם אפשר אפשר להרכיב נוסחה לחישוב?