שאלה על הסתברות

noamguttman

New member
שאלה על הסתברות

אהלן, לא בטוח שזה המקום הנכון לשאול, אבל בכל זאת אני מנסה. מצאתי באינטרנט מאמר על היכולת האנושית להשתמש נכון בהסתברות כדי לקבל החלטות. הנה קטע מתוך המאמר (מאתר האייל הקורא): "בכובע יש שלושה קלפים: אחד אדום משני צידיו, שני לבן משני צידיו, ושלישי לבן מצד אחד ואדום מצד שני. מוציאים בעיניים עצומות קלף אחד וזורקים אותו לאויר; כשפוקחים אותן, רואים שהוא נחת כך שצידו העליון אדום. מהי ההסתברות שזה הקלף אדום־אדום? העונים ''חצי'' נמצאים בחברה צפופה, אך לא כל כך מכובדת – למעלה מ 70% ממשתתפי מחקר בפניהם הוצגה השאלה נתנו את התשובה הזאת, למרות שהיא שגויה. בעיה זו ממחישה את קשייה של האינטואיציה האנושית להתמודד עם חישובים הסתברותיים. רבות כמותה – ומפתיעות ממנה – מתוארות בספר ''רציונליות, הוגנות, אושר'' של דניאל כהנמן, חתן פרס נובל לכלכלה לשנת 2002...." אז מכיוון שאני בחברת אותם 70% מפוקפקים, רציתי לקבל הסבר לשאלה. תודה מראש נועם
 

עריסטו

Active member
התשובה הנכונה

לשם המחשה, נניח שאנחנו מבצעים את הניבוי (בוחרים קלף וזורקים אותו) 6000 פעמים. אזי כל אחד משלושת הקלפים ייבחר בערך 2000 פעמים. מסכים? כולמר, הקלף "אדום-אדום" ייבחר בערך 2000 פעמים. הקלף "לבן-לבן" ייבחר בערך 2000 פעמים. הקלף "לבן-אדום" ייבחר בערך 2000 פעמים. כמה פעמים, בקירוב, הצד העליון יהיה אדום? מתוך 2000 הפעמים בהן נבחר הקלף "אדום-אדום", ב-2000 פעמים הצד העליון יהיה אדום. מתוך 2000 הפעמים בהן נבחר הקלף "לבן-לבן", ב-0 פעמים הצד העליון יהיה אדום. מתוך 2000 הפעמים בהן נבחר הקלף "לבן-אדום", ב-1000 פעמים, בערך, הצד העליון יהיה אדום. סך הכל: ב-3000 פעמים, בקירוב, הצד העליון יהיה אדום. לפי הפירוט בפיסקה הקודמת, אתה רואה ש-2000 מתוכן מתקבלות מבחירת הקלף "אדום-אדום", ו-1000 מתוכן מתקבלות מבחירת הקלף "לבן-אדום". לכן אם הצד העליון אדום, ההסתברות שהקלף הוא "אדום-אדום" היא 2/3. מקווה שההסבר מובן.
 

עריסטו

Active member
בסגנון אחר

נניח שלפני הניסוי ממספרים את ששת צידי הקלפים: על צד אחד של הקלף "אדום-אדום" כותבים 1, על צידו השני כותבים 2, ועל הצד האדום של הקלף "אדום-לבן" כותבים 3. את שלושת הצדדים הלבנים ממספרים 4,5,6. אם בוחרים קלף וזורקים אותו, לכל אחד מששת המספרים 1,2,3,4,5,6 יש הסתברות שווה להופיע. לכן גם לכל אחד משלושת המספרים 1,2,3 יש הסתברות שווה להופיע. מסכים? ובכן, בשניים מתוך שלושת המקרים שווי-ההסתברות בהם הופיע אחד המספרים 1,2,3 - כלומר הצד העליון אדום - הקלף הוא "אדום-אדום". לכן אם הצד העליון אדום ההסתברות שהקלף הוא "אדום-אדום" היא 2/3.
 

noamguttman

New member
ההסברים ברורים ובכל זאת,

כנראה שהמכשול הוא לא מתמטי אלא יותר סמנטי. אנסה "לתמלל" לך את המחשבה הטבעית שלי - ושל עוד 70% - אחרי הקריאה: יש לי שלושה קלפים: אדום-אדום, אדום-לבן, ולבן-לבן. לקחתי אחד מתוך השלושה, וזרקתי באוויר. הוא נפל על צדו האדום. מכאן, ברור לי שהוא לא הקלף הלבן-לבן. ולכן הקלף הלבן-לבן למעשה "יצא" מהמשך החישוב שלי - וכנראה שכאן הטעות. יכול להיות שהצד השני לבן (אם זה קלף לבן-אדום) או אדום (אם זה קלף אדום אדום). כלומר (או שבעצם לא) - סיכוי של 50% שזה יהיה אדום אדום. בכל אופן תודה על התשובות, ואם יש לינקים בנושא או אפילו אשכולות מהפורום בנושאים דומים אשמח לקבל הפניות. תודה :)
 

עריסטו

Active member
עצם העובדה שיש שתי אפשרויות

אינה אומרת שההסתברות לכל אחת מהן היא 50%.
 

אמִיר

New member
מזכיר לי בדיחה

מרצה בשנה א' שניסה להסביר לנו משהו על סטטיטסיקה: "מה הסיכוי שתפגוש בחוץ דינוזאור? 50 אחוז, או שכן, או שלא"
 

kozakish

New member
אני אנסה לומר משהו שעשוי לעזור

המפתח להבנת הסוגויה טמון בעובדה שכשאתה רואה צד אדום של קלף,המצב כבר אינו סימטרי. למה? סה"כ יש לנו שלושה צדדים אדומים. ולכן הסיכוי לראות כל אחד מהם הוא 1/3. אבל הסיכוי לראות גם צד שני אדום תלוי ישירות באיזה צד אדום אתה מתבונן. אם זה אחד משני הצדדים האדומים של הקלף ה"כל אדום", אזי גם הצד השני שלו אדום. הסיכוי לכך הוא 2/3, כי זה סך הסיכויים לכל אחד משני הצדדים האדומים שלו. לעומת זאת אם אנו מתבוננים תחילה על הצד האדום של הקלף החצוי, אזי צדו השני לא אדום. הסיכוי לכך הוא 1/3. סה"כ סכום הסיכויים הוא 1, ולכן הכל מסתדר. מקווה שעזרתי.
 

niv1990

New member
נסיון

יש סה"כ 3 מקרים שבהם אפשריים אם אתה יודע שראית צד אדום: אדום-לבן: צד א'. אדום-אדום: צד א'. אדום-אדום: צד ב'. ההסתברות לכל אחד מהמקרים שווה, ולכן היא שליש (כאשר ההסתברות לקלף אדום-אדום היא שני שליש כי הוא מכיל שני מקרים). אולי אוכל להסביר יותר טוב אם תגיד למה חשבת שההסתברות היא חצי.
 
אכן, האינטואיציה היא לרועץ.

הבעיה היא שמבחינה אינטואיטבית, אנחנו חושבים שכל מרחב מדגם הוא שווה הסתברות, מה שבפרוש לא נכון. יש עוד מקרים "מבלבלים" כאלה, כמו למשל הפרדוקס של מונטי הול, שהטעה אפילו מתמטיקאים.
 

22ק ו ס ם

New member
זה כלל לא מפתיע

החידה ששאלת היא על הסתברות מותנית, כלומר בהינתן שיצא לך אדום מה הסיכוי שיהיה אדום גם בצד השני? זה שונה מהשאלה, מה הסיכוי שיצא לך אדום בכלל. המוח שלנו לא בנוי לענות על שאלות הסתברותיות כאלו אבל זה לא אומר שבהכרח הוא לא בנוי לחישובים הסתברותיים. יש הרבה חישובים הסתברותיים אינטאטיביים שהמוח מבצע מצוין. הכל תלוי בהקשר.
 
למעלה