תגדיר "הכרחי"...
בעיקרון בצורת בינוני (הווה) אין גוף (רק מין ומספר) ולכן "שולח" יכול להיות לא רק "אני" אלא גם "אתה" או "הוא";
עם זאת, בתחביר מוכר גם המשפט החסר, ובחיים עצמם משתמשים בהקשר.
אם תנתח שיחות/התכתבויות (בפרט לא רשמיות) תמצא בהן שלל "חוסרים" שהושמטו מהיותם מובנים מאליהם.
בשורה התחתונה, במסגרת מסרונים (שהם התכתבות לא רשמית או שיחת חולין) נראה לי סביר, הגיוני (וכמובן מקובל להפליא) להסתפק ב"שולח", וממילא זהות השולח ברורה לכול. הערת המחנכת נראית לי כמו קטנוניות שלא לצורך.