שאלה

[braker]

שאלה

אם יש מסלול של 10 מטר ואני מתקדם כל שתי שניות במחצית הדרך שנותרה לי, אני אגיע אי פעם לסוף?

 

[Halfbaked]

לא!

(בהנחה שב"אי פעם" כוונתך לכל זמן עתידי שאינו מרוחק "אינסוף שניות" מהזמן הנוכחי.) טיעון זה מזכיר לי את "דיאטת השוקולד", המאפשרת לך לאכול שוקולד כל יום, מבלי לגמור אפילו חפיסה אחת. לפי השיטה, עליך לפתוח חפיסת שוקולד שלמה, ובכל יום לאכול מחצית ממה שנותר. וקיים אף שיפור קל - אם תאכל בכל יום רק שליש מהשוקולד שנותר, תגלה שאף פעם לא תגמור אפילו מחצית מהחפיסה המקורית. יחי השוקולד. יובל.

 

[איריסצפונית]

עוד זווית

יובל...אומרים שגם במונח.."אין סוף.." יש ספק אם בכלל אין סוף... נוטה להניח שגם לאותה דיאטת שוקולד..., בייחוד שזהו חומר מוגמר..הניתן למדידה מדוייקת...ולחלוקה...עדיין נגיע לסוף..הכל מותנה בזמן, כמה שייקח והרי זו הדיאטה המשובחת..את אותה כמות שוקולד...לפרוס על פני זמן ארוךךךךךךךך.... ולא לסיים השוקולד תוך פרק זמן קצר, למרות חלוקתו ..ולקחת שוב ולהגדיר כמות חדשה של שוקולד ולהתחיל מחדש... עושה רושם ש"מרזי מורית" לא ידגלו בשיטה...יצמצם להם מכירות...

 

[חולם על שוקולד]

מה לא הבנתי?

לגבי השיפור שכתבת: ("...וקיים אף שיפור קל - אם תאכל בכל יום רק שליש מהשוקולד שנותר, תגלה שאף פעם לא תגמור אפילו מחצית מהחפיסה המקורית. יחי השוקולד. יובל.) לא הבנתי. אני מחלק את חפיסת השוקולד המקורית ל- 9 חלקים שוים. אוכל שליש ביום הראשון - כלומר 3 חלקים. נשארו 6 חלקים. ביום השני אוכל שליש מהנותר - כלומר 2 חלקים. אז אכלתי ביומיים 5 חלקים מתוך 9 (יותר ממחצית החפיסה המקורית). מה לא הבנתי?

 

[Halfbaked]

לא הבנת שגם מנהלי פורום טועים!

ואכן, גם בשיטת השליש נמצאת כל חפיסת השוקולד בסכנה. גם אם תאכלו כל יום רבע ממה שנשאר, תגמר החבילה לאחר "אינסוף" ימים. וגם אם חמישית, שישית, וכולי. על מנת להוכיח זאת (ולהיות בטוח שאיני טועה הפעם), אתייחס למקרה הכללי לפיו כל יום אני אוכל "1 חלקי n" ממה שנותר, כאשר n הוא מספר טבעי גדול מ-1. ביום הראשון אני אוכל "1 חלקי n" מהחפיסה. ביום השני אני אוכל "(1 חלקי n) כפול (n-1 חלקי n)" ביום השלישי אני אוכל "(1 חלקי n) כפול (n-1 חלקי n) כפול (n-1 חלקי n)" וכן הלאה. זהו טור הנדסי שמנתו n-1 חלקי n, והוא מתכנס ע"פ הנוסחה לחישוב סכום טורים הנדסיים ל- "(1 חלקי n) חלקי (1 פחות (n-1 חלקי n))" כלומר, ל-1. אז הנה, תיקנתי את עצמי, והנה שאלה מעניינת: מה יקרה אם ביום הראשון אוכל חצי מהחפיסה, ביום השני אוכל שליש ממה שנותר, ביום השלישי אוכל רבע ממה שנותר, וכך הלאה? האם החבילה כולה תיגמר לאחר "אינסוף" ימים, או שמא ישאר משהו? יובל.

 

[איריסצפונית]

התייחסות לשאלה..

מניחה שכן תגיע לסוף...כי הרי המסלול מוקצה עד ל..10 מ´...

 

[s0uljacker]

הדרך שנותרה

נקרא לה "יחידת דרך" או בקיצור 1 1:2 לא יכול להתיר 0 לעולם באותה מידה אפשר להסתכל על זה כעל סדרה הנדסית מתכנסת ע"ע סיפור הרכבות

 

[swirrrly]

אני מניחה ש

כשתגיע לסוף זאת אומרת שהמרחק לסוף יהיה 0. אבל הרי 0 זה חצי מ-0. אז............ לא?

 

[ויקי16]

לדעתי לא,

כי תמיד יוותר לך עוד חלק, שחצי ממנו תתקדם... כמובן שככל שיעבור הזמן, ישאר לך פחות להתקדם אבל לעולם לא תגיע לסוף. (כמובן, אם נדייק) לא יודעת עד כמה זה נכון...אם אני אומרת את זה סביר להניח שזה לא נכון...

 

[Blade2]

זה תלוי

אם אתה מתכוון להתייחס לזה מתמטית, כלומר שכל שתי שניות אתה קופץ קדימה חצי מהדרך שנותרה לך, אז אתה לעולם לא תגיע. זוהי סדרה הנדסית מתכנסת ל 0. זה בדיוק כמו הפרדוקס של זנון, (אכילס עושה תחרות ריצה נגד צב, לצב נותנים פור של 10 מטר וכשהצב מתקדם מטר אכילס מתקדם 10 מטר וכך לכאורה אכילם לעולם לא ישיג את הצב, הוא התקדם 10 מטר, הצב עשה עוד מטר, כדי להשיג אותו צריך לעשות עוד מטר, אכילס רץ מטר, הצב עבר 10 ס"מ, אכילס עובד את ה 10 ס"מ הצב עבר 1 ס"מ וכו´ וכו´.)

 

[s0uljacker]

אמנם מתכנסת אבל לא ל-0

 

[Blade2]

למה לא?

דיברתי על המרחק עד הסוף, והוא הולך ושואף ל 0.

 

[Blade2]

*תיקון*

התכוונתי לומר שדיברתי על המרחק שעוברים כל פעם ולא על המרחק עד הסוף

 

[s0uljacker]

יחי ההבדל הקטן....

המושג מתכנסת הוא ביחס לסכום הסדרה כל איבר בפני עצמו מאפייו סתם סדרה הנדסית

 

[ayly]

חצי של חצי

פשוט להסביר עם חידת הצפרדע שקפצה לאגם ועם כל קפיצה היא עוברת מחצית מהדרך שנותרה לה היא לא תגיע לסוף ע"פ עולם השברים האין סופי בו בין שני שברים תיד ימצא שבר נוסף שלתחום שני שברים בקיצצ חצי של חצי הוא...וכן הלאה