שאלה

[guy d]

רטיה אחת לא קצרה

אם A ו B קבוצות של מספרים שליליים אז לא נכון

 

[yontanbn]

אכן לחיוביים זה קל...

הקושי הוא בשאר המקרים (כל הקבוצות שליליות, רק אחת הקבוצות שלילית, הקבוצות מכילות גם מספרים שליליים וגם חיוביים, הסופרמום הוא אפס, כל מיני כאלה)

 

[יוחננוש]

שאלה

אודה לכם אם תעזרו לי לפתור את השאלה הבאה: בהינתן A.B קבוצות לא ריקות וחסומות של מספרים ממשיים... נגדיר את הקבוצה A*B={a*b|aEA and bEB}h צ"ל ש supA*supB<=sup(A*B}h

 

[Deathatred]

אני אעזור בשמחה

רק הגדר לי את המושגים הבאים: "קבוצות חסומות" באופן מילולי מהי קבוצה A*B (האם זו המכפלה הקרטזית?) מה הכוונה ב sup ? (האם זו עוצמה/מספר-קרדינלי של הקבוצה)? מה השוויון שצריך להוכיח באופן מילולי?

 

[yontanbn]

קושי השאלה

שלום לך ובכן, אני אגדיר לך את כל המושגים שביקשת, אך אתה כנראה לא מבין את קושי השאלה כאן. התעסקתי עם השאלה הזאת בשנה שעברה, ואני לא זוכר את הפתרון, אבל אני זוכר שהוא לקח הרבה עבודה, ויצא בסוף הוכחה של יותר מעמוד, עם הרבה בלגנים. זו לא שאלה בתורת הקבוצות, כפי שאולי נדמה למי שאינו מכיר את המושגים, אלא שאלה בחשבון אינפיניטסימלי (אותו חלק של חשבון אינפיניטסימלי שאינו קשור באופן ישיר לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) עכשיו למושגים... קבוצת מספרים ממשיים תיקרא חסומה אם קיים מספר ממשי M כך שלכל איבר x בקבוצה, הערך המוחלט של x קטן מM אינטואיטיבית, זה אומר שקיים מספר שגדול מכל האיברים וקיים מספר שקטן מכל האיברים (מי שרוצה יכול, כתרגיל, להראות שההגדרה הפורמלית והאינטואיטיבית שקולות) קבוצה תיקרא חסומה מלעיל אם קיים מספר שגדול מכל האיברים קבוצה תיקרא חסומה מלרע אם קיים מספר שקטן מכל האיברים כלומר, קבוצה היא חסומה אם ורק אם היא חסומה מלעיל וגם חסומה מלרע לגבי כפל קבוצות, זה מושג שמוגדר בהמון המון דרכים שונות במתמטיקה, אחת מהן זו המכפלה הקרטזית. כאן, נתן לנו השואל את ההגדרה המדוייקת שעל-פיה אנחנו צריכים לפעול, והיא: A כפול B היא קבוצת כל המכפלות של איברים מA באיברים מB. כלומר, איבר יהיה במכפלת הקבוצות אם הוא ניתן להצגה כ a*b כאשר a בA וb בB, ולהפך: לכל a בA וb בB, המכפלה שלהם היא בקבוצת המכפלה הזאת. sup או סופרמום, או חסם עליון, היא הגדרה חשובה מאוד באינפי. קודם כל, הוא מוגדר רק לקבוצות חסומות מלעיל. אז הsup של קבוצה חסומה מלעיל הוא בעצם, המספר הכי קטן שמהווה חסם לקבוצה הזאת (כלומר שגדול או שווה מכל האיברים בה). פורמלית, x הוא הסופרמום של קבוצה A אם (1) x גדול או שווה מכל האיברים בA, ו(2) לכל מספר y שקטן מx, לא מתקיים שy מהווה חסם לA, כלומר קיימים איברים בA שגדולים ממנו. שימו לב להבדל בין חסם עליון לחסם מלעיל. חסם מלעיל זה כל מספר שגדול או שווה מכל איברי הקבוצה. חסם עליון זה החסם מלעיל הכי קטן שיש. שני דברים חשובים, אחת האקסיומות של המספרים הממשיים היא שלכל קבוצה חסומה מלעיל יש חסם עליון. זה לא ברור מאליו! ברציונליים למשל זה לא נכון, ניקח לדוגמא את הקבוצה של כל המספרים שריבועם קטן מ2. ברציונליים אין להם חסם עליון. תבדקו. בממשיים כמובן יש להם חסם עליון והוא שורש-2. עוד נשים לב, שעבור קבוצות סופיות, והרבה קבוצות אחרות, הsup הוא פשוט האיבר המקסימלי בקבוצה. בקבוצות שיש בהן איבר מקסימלי, הוא אכן תמיד הsup, אבל בקבוצות שאין להן, זה פחות טריוויאלי. אה, ועוד דבר ששכחתי לציין, חסם עליון הוא יחיד. אין שני חסמים עליונים לקבוצה מסויימת. ההגדרה המקבילה, עבור חסמים מלרע, היא inf או אינפימום או חסם תחתון שהוא, כמובן, החסם מלרע הכי גדול. מקווה שהבנתם