שאלות במתמטיקה

[g1u2y32]

שאלות במתמטיקה

 

[1234orit]

שאלה בנושא סדרה חשבונית

שלום,

אני מנסה לפתור שאלה מהספרים של בני גורן ללא הצלחה.
מדובר על השאלה ממבחן 9 בקובץ הבא:

http://media.wix.com/ugd/1cbed4_77b474c92903481e958e16f94ddf4f89.pdf

ניסיתי להחסיר את הסכום של סדרה עם n-1 איברים מהסכום של סדרה עם n איברים אבל התשובה שיצאה לי לא תואמת את הפתרון שלו (מופיע בקובץ בסוף).

אשמח ואודה לכל עזרה

 

[סוס כסוף]

שימי לב שמה שתוצאת החיסור כוללת 2 מרכיבים

. הביטוי של S-S(n-1 ובהמשך הפרש הסדרה החשבונית הנתונהנ בסוגריים. ההפרש הזה שווה בדיוק לאיבר האחרון של הסדרה בסוגריים.

 

[סוס כסוף]

לחצתי אנור מוקדם מדי. לחילופין את יכולה לחשב את סכום הסדרה

החשבונית המופיעה בסוגריים, להוסיף אותה לביטוי של Sn ולקבל ביטוי ל (S(n של כל הסידרה בשלמותה. עכשיו תציבי n-1 ותחסירי מן ה Sn הכולל.

 

[1234orit]

אני מתנצלת אבל לא הבנתי

החסרתי את S(n-1) מ S וזה לא נתן את הפתרון שמופיע בספר

 

[g1u2y32]

פתרון

שלום וברוך הבא לפורום!
כמו שסוס כסוף אמר - הסדרה הנתונה בסוגריים המרובעים היא חשבונית - במקום להציב n ו n-1 בכל הביטוי ואז לחסר ביניהם (דבר דיי מורכב) - ניתן לחשב את הסכום של הסדרה החשבונית בסוגריים המרובעים - ואז לצרף אותה לביטוי הקיים - לפני הסוגריים המרובעים.
הביטוי באופן הזה יהיה פשוט הרבה יותר, וקל הרבה יותר לעבוד איתו.
אני מצרף פתרון מלא של הבעיה.
בהצלחה!

 

[1234orit]

תודה רבה רבה!

ראיתי שבתוך הסוגריים זה עם הפרשים קבועים אבל לא עלה בדעתי לעשות לזה סכום ואז להציב בנוסחה המקורית.
הצבתי פשוט n-1 והנחתי שמה שבתוך הסוגריים, למעט הביטוי האחרון שתלוי בn, יצטמצם. למה זה לא נכון?
בכל מקרה - עזרת לי מאוד, תודה רבה

 

[g1u2y32]

הדרך שהצעת פשוט מסובכת מדיי

בתרגילים כאלו עדיף לחשוב ולעבוד כמה שיותר פשוט. ביטויים אלגבריים מסובכים מדיי הם מתכון בטוח לטעויות.

 

[סוס כסוף]

אני אסביר למה התכוונתי.

הסכום הנתון מורכב מנוסחה רגילה של סכום בתוספת ביטוי שמובא בתוך הסוגריים.

הדרך הטובה ביותר - כפי שגם את ניסית - היא להחסיר
a = S - S(n-1)

השאלה היא מה לעשות עם הביטוי המופיע בתוך הסוגריים. דרך אחת היא לזהות שזוהי סידרה חשבונית, לחשב את סכומה ואחר כך להחסיר את הסכומים. זאת דרך הפתרון שהוצגה ע"י מנהל הפורום והיא ללא ספק הדרך הבטוחה ביותר מבחינת הסיכויים לטעות. אבל אפשר "להתחכם".

אחרי שזיהינו שבתוך הסוגריים יש סידרה חשבונית, אנו מנבינים שבתוך הסוגריים רשום בעצם
a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a

n-1 אז הביטי הזה עבור

a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1)

a ההחסרה של שני הביטויים תשאיר אותנו רק עם
כי כל שאר האיברים מתבטלים.

אז בלי לחשב את הסכום בסוגריים א]פשר להגיד

a = S - S(n-1) = n² - 7n - [(n-1)² - 7(n-1)] + {[(a(1)+a(2)+a(3)+... a(n-1) + a] - [(a(1)+a(2)+a(3)+... a(n-1) ]} =

= n² - 7n - [(n-1)² - 7(n-1)] + 6n-3 = n² - 7n - n² + 2n - 1 +7n - 7 + (6n-3) = 2n - 8 + 6n-3 = 8n -11

החיסרון של הגישה הזאת הוא שזה מחייב "הברקה" ולא בטוח שבמבחן אפשר לסמוך על הברקות.

היתרון הוא בשני דברים:

א. חוסך את הצורך לחשב את סכום הסדרה שבסוגריים
ב. וזה יותר חשוב: מה היה קורה אם הסדרה בתוך הסוגריים לא הייתה חשבונית ? אז בשיטה הרגילה, היינו צריכים למצוא דרך לחשב את הסכום וזה לא תמיד פשוט. לעומת זאת, בשיטה שהצגתי, אנחנו בכלל לא מתעניינים בסכום - כל מה שאנחנו צריכים זה ההפרש וההפרש הזה שווה לאיבר האחרון (a(n