שתי שאלות חברים.

[roey1r]

שתי שאלות חברים.

שאלה ראשונה, מכירים את החידה שבה צריך לספק מים חשמל וגז לשלושה בתים? למי שלא מכיר: http://www.addictinggames.com/supuzzle.html. עכשיו איך אני יכול להוכיח שאין פתרון לחידה? שאלה שניה בקשר לחידה נוספת: החידה היא כזאת : "מהן ארבעת המשקולות שסכומן 40 ק"ג שמסגלות לשקול כל משקל שלם עד ארבעים ק"ג" עכשיו הגעתי למסקנה שאפשר לשים גם בצד השני של המאוזניים משקולות, והגעתי לתשובה בעזרת תוכנית בפסקל שמנסה את כל האפשרויות. התשובה היא: 1 3 9 27 עכשיו השאלה היא אם יש דרך לחשב את התשובה? תודה

 

[אמִיר]

שים לב מה קיבלת

זו סדרה הנדסית (3 בחזקת אפס, שלוש בחזקת 1 וכו'). הסיבה היא שאתה בעצם מרכיב כאן מספרים בבסיס שלוש. מספר בבסיס עשר יהיה למשל 45 זה 5 כפול 10 בחזקת 0, ועוד 4 כפול עשר בחזקת 1. המשקולות שלך הן 1, 10, 100 וכו' עכשיו, למה דווקא בסיס 3? כי יש שלוש פעולות שאתה יכול לעשות עם כל משקולת- או להחסיר, או להוסיף, או לא לעשות כלום. עדיין יש בעיה שכאן מדובר על 1, מינוס 1, ו0. ואילו אנחנו יודעים שאפשר לבנות כל מספר בעזרת 0, 1 ו2. לצורך כך, בשביל זה אפשר להשתמש בטריק קטן: X=a1*1+a2*3+a3*9+a4*27 X=(a1+1)*1+(a2+1)*3+(a3+1)*9+(a4+1)*27-40 מכיוון שa+1 נמצא בין אפס לאחד, אנחנו בעצם קיבלנו X שמורכב מכל המספרים שבין 0 ל80 (זה המספר 2222 בבסיס 3, שהוא המספר הכי גדול שיש ל4 ספרות בבסיס 3), פחות 40. מכיוון שX חיובי, אנחנו נשארים עם 40 ק"ג. אגב, אם לא היית עונה את התשובה- אולי היית מקבל פתרונות יותר יצירתיים. אני זוכר שפעם (ממש מזמן) פתרתי את זה באמת (ולא בדיעבד).. לקח לי שעות.

 

[roey1r]

יפה מאוד, לאיזה נושא זה מתקשר במתמטיקה?

אני כרגע כיתה י"א ואין סיכוי שהייתי מצליח לעלות על זה לבד, למרות שאת רמת המתמטיקה אני מבין. ו"בסיס" זה מושג מתמטי? אפשר עוד הסבר על המושג?

 

[אמִיר]

בדרך כלל לומדים את זה במחשבים

בגלל שהמחשב משתמש בבסיס בינארי כדי לייצג מספרים. מכיוון שלמחשב קל לייצג רק שתי רמות (יש מתח/אין מתח), צריך למצוא דרך לעבור מהמספרים שאנחנו מכירים, שמיוצגים על ידי עשר ספרות (0..9), למספרים שמיוצגים רק על ידי שתי ספרות (0 ו1). תחשוב רגע מה המשמעות של "מספר"- כאשר המספר הוא בין 0 ל9, הספרה היא המספר. כאשר המספר גדול מ9, אנחנו משתמשים בשתי ספרות, כשהספרה הימנית היא ספרת ה"אחדות"- כלומר, אנחנו מכפילים אותה באחד, והספרה השמאלית היא ספרת העשרות- כלומר, אנחנו מכפילים אותה פי 10. זה מאפשר לנו לכתוב את כל המספרים בין 0-99, ואז ממשיכים להוסיף את המאות, האלפים וכו'.. קל מאוד להעתיק את השיטה הזו לבסיסים אחרים, למשל בבסיס בינארי, בהם הספרות שלנו הם רק בין 0 ל1. כך למשל, המספרים יהיו: 0 (אפס) 1 (1) 10 (2) 11 (3) 100(4) וכו' בסיס 3 אומר שהספרות שלנו הם בין 0 ל2, והמיקום מייצג את החזקה של ה3. יש גם בסיס 16, שהוא נפוץ, שבהם הספרות הם בין 0-15, ואז משתמשים באותיות כדי לייצג את הספרות שגדולות מ-9 (ABCDEF) אני בטוח אגב שלויקיפדיה יהיה עוד הרבה מה להוסיף..

 

[roey1r]

מעניין מאוד, תודה.

 

[טלמון סילבר]

או ככה -

4 פוזיציות בבסיס 3 נותנות 3^4=81 ערכים שונים, ובלי הטריק, אם נשארים עם ה"ספָרוֹת" מינוס1, 0 ו-1, מקבלים 81 ערכים ממינוס 40 עד 40. הערכים השליליים מתקבלים כאשר מניחים את הנשקל על כף המאזניים השלילית

 

[יונתן 2000]

יופי של תשובה!

 

[prefect]

ולגבי השאלה הראשונה

חשבתי על הוכחה די פשוטה (למקרה של בתים ומקורות הם דברים נקודתיים): נסמן את הבתים ב-A,B,C ואת המקורות ב-1,2,3. נתבונן בשני מסלולים:2C3B, 1B2C ללא קשר לאיך בדיוק עוברים הקוים, שני המסלולים הם מעגלים סגורים שעוברים בצלעות 2C,2B. נתבונן בנקודות: 1,2,3. מכוון ששלושת הנקודות מחוברות ל-B,C בשני קוים ללא חיתוכים, המישור מחולק לשלושה חלקים (שכל אחד מהם מוגבל ע''י חיבורים בין B,C ושתי נקודות מתוך 1,2,3). נקודה A נמצאת באחד משלושת החלקים האלה, לכן ניתן לחבר אותה לשתי נקודות מתוך 1,2,3, אך לא לשלישית. יותר קל להבין את זה אם מחליפים בין 2 ל-B בציור (סתם מפשט את הציור. ניתן להוכיח שאין שום השפעה למיקום הנקודות, ניתן להזיז אותן כמה שרוצים)