תוחלת...

[pandapple6]

תוחלת...

אלי וחווה משחקים משחק הימורים בהטלת מטבע. אלי מטיל 3 הטלות אחת אחרי השנייה.
אם המטבע נופלת 3 פעמים - חווה משלמת לו 10 ש"ח.
אם המטבע נופל פעמיים על עץ - חווה משלמת 5 ש"ח
אם המטבע נופל פעם אחת על עץ - חווה משלמת לו 1 ש"ח בלבד

אבל, אם המטבע נופלת 3 פעמים על פלי אלי משלם לחווה 20 ש"ח.
מהי תוחלת הזכיות של אלי?

 

[Practical Realist]

תשובה

התוחלת היא סכום ערכי כל התוצאות האפשריות כפול הסיכוי לקבלתן.
כאן יש ארבע תוצאות אפשריות:
3 פעמים עץ
2 פעמים עץ ופעם פלי
2 עץ ושני פלי
3 פעמים פלי.
כיוון שהסדר לא חשוב, אז כל הצרופים של 1 עץ ושני פלי זהים.
נגדיר עץ בתור הצלחה: אז אלי מרוויח. פלי הוא כשלון.
הסיכוי לקבל עץ בכל הטלה הוא 0.5, וגם הסיכוי לקבל פלי זהה - נסמן ב - P.

עכשיו, מהם הסיכויים של אלי - זה לפי נוסחת ברנולי:
zz n!/(k!*(n-k))!*P^k*(1-P)^k zz
לקבל שלוש פעמים עץ ולהרויח 10 ש"ח:
zz k = 3 zz
zz 3!*0.5^3/(3!*0!) = 1/8 zz
לקבל פעמיים עץ ולהרויח 5 ש"ח:
zz k = 2 zz
zz 3!*0.5^3/(2!*1!) = 3/8 zz
לקבל פעם אחת עץ ולהרוויח 1 ש"ח:
zz k = 1 zz
zz 3!*0.5^3/(1!*2!) = 3/8 zz
ולקבל 0 פעמים עץ:
zz k = 0 zz
zz 3!*0.5^3/(0!*3!) = 1/8

אז תוחלת הרווח שלו תהיה:
zz E = 1/8*10+3/8*5+3/8*1-1/8*20 = -0.5 zz