תנועה הרמונית פשוטה

[pc girl]

תנועה הרמונית פשוטה

אהלן,
קצת לא ברור לי הנושא הזה, בעיקר העניין עם הפאזה. יש רגעים שאני מבינה את זה ורגעים שלא.
לוקחת כדוגמה את השאלה הבאה (את הסעיפים של האנרגיה והכוח הצלחתי חלקית, את העניין של התאוצה לא)-
גוף, שמסתו 0.5 ק"ג נע בתה"פ עם אמפליטודה של 10 ס"מ וזמן מחזור של 0.1 s . חשב את התאוצה, הכח, האנרגיה הפוטנציאלית והאנרגיה הקינטית כאשר הגוף נמצא במרחק של 5 ס"מ מנקודת שיווי המשקל.
197.4 m/s2 , 98.7 , 2.467 J , 7.402 J תשובות-

---------------------------------------------
דרך הפעולה שלי-
בגדול חישבתי את w=62.8, ומשם יצא לי שk=1971.92. ניסיתי למצוא את האנרגיה הפוטנציאלית שלי, שמשום מה יוצאת קטנה פי מאה. משם עברתי לכוח שיצא לי -98.7 והאנרגיה הקינטית יצאה לי 0.073 גם, קטנה פי מאה. לא ככ ברור לי כנראה העניין של היחידות.
אחרי שהצלחתי חלקית מאוד את הסעיפים הראשונים, בסעיף של חישוב התאוצה הסתבכתי. אשמח להבהרה בעניין הפאזות וזמן המחזור.
בגדול ממה שהצלחתי להבין, אמרתי שאם האמפליטודה היא 10 סמ ואני מחפשת את הנקודה של 5 סמ אז T אמור להיות 1/3 פאי (?) (כי הxmax שלי הוא 1/2פאי(?)) ואז ניסיתי להציב t=0 בנוסחאות הראשונות וכך למצוא את הפאזה, וזה לא הלך.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
אז בגדול אם אפשר הבהרה לגבי היחידות, למה הכח יוצא לי שלילי, והכי חשוב-איך מחשבים פאזות ואת העניין של זמני מחזור!

תודה רבה רבה!

 

[pc girl]

אז אחרי פשפושים באינטרנט...

הצלחתי להגיע לתאוצה בעזרת הנוסחה a=-k*x/m ,אבל שוב, יצא לי תאוצה במינוס כשהתשובה היא בפלוס (מה גם שהנוסחה הזו בכלל לא נתונה לי בדף הנוסחאות ואני לא יודעת אם המרצה שלי יקבל אותה או יבקש ממני להוכיח אותה).
יש דרך להגיע לתשובה הזאת דרך הנוסחאות הרגילות?
ובלי קשר, עדיין אשמח מאוד מאוד להבהרה בעניין הפאזות וזמני המחזור!

 

[Schrodingers Dog]

הערות

גם תאוצה היא וקטור עם כיוון, שוב זה תלוי בכיוון שהגדרת ושוב פעם זה בסדר.
&nbsp
הנוסחה הזאת לא דורשת הוכחה - היא ברורה! הכח של הקפיץ הוא F=-kx. החוק השני של ניוטון הוא F=ma. משווים ומחלקים במסה, אין פה שום דבר.

 

[Schrodingers Dog]

הערות

נדמה לי שאת מערבבת יחידות ולכן המספרים לא נכונים. נהוג לעבוד ביחידות שנקראות SI שזה אומר מטר, קילוגרם, שנייה. אם תמירי את הכל ליחידות האלה תקבלי את התשובות הנכונות.
&nbsp
כוח הוא וקטור, יש לו גודל וכיוון. הכח פועל לכיוון הפוך מהכיוון של הגוף שיצא משיווי משקל - הכוח רוצה להחזיר את הגוף לשיווי משקל. זה תלוי איפה הכיוון החיובי של ציר x ולאיזה כיוון הגוף יצא משיווי משקל. במילים אחרות הכל בסדר.
&nbsp
בקשר לפאזה, בלי משוואה לדבר עליה אין הרבה מה להגיד.

 

[סוס כסוף]

ראי קודם את הסרטונים הבאים ואם עדיין יהיו לך שאלות -

אשמח לענות.

http://tinyurl.com/ln5rllg

בתמצית, העניין הוא מאוד פשוט.

תנועה הרמונית פשוטה מתקבלת במצב של כוח מחזיר הפרופורציוני להעתק.

F = -KX

מבלי להיכנס לפירוט, הפתרון של המשוואה הנ"ל הוא

X = Acos(wt + Φ)

כאשר:

תמיד (גם בתה"פ וגם בתנועה סיבובית וכו')
w = 2π*f = 2π/T
f = תדר או תדירות
T = זמן מחזור

ספציפית לתנועה הרמונית
w = √(K/m)
Φ = הפאזה

הפאזה נקראת בעברית מופע והיא דבר פשוט בתכלית. היא אומרת לנו מה היה המיקום של הגוף ברגע ההתחלה t=0. כלומר, אם ברגע ההתחלה, הגוף לא נמצא בראשית הצירים, אז הפאזה מאפשרת לנו להגדיר את המיקום של הגוף ברגע ההתחלה. אם הוא כן נמצא בראשית, אזי הפאזה תהיה אפס.

דוגמה: ב t=0 הגוף נמצא ב X= A/2. אז כדי לחשב את הפאזה

X = Acos(wt+Φ)
t = 0, X=A/2
A/2 = Acos(w*0+Φ) /:A
1/2 = cosΦ ----> Φ = π/3
t מכאן שמשוואת התנועה של הגוף בזמן
X = Acos(wt+π/3)

אם למשל ברגע t=0 הגוף היה בראשית, אזי משוואת התנועה שלו הייתה
X = Acos(wt+π/2)
זה כל הסיפור.

אם אחרי הסרטון יהיו לך עוד שאלות - אני בסביבה.

 

[pc girl]

בעצם שאלה קטנה להבהרה-

כתבת בסוף שאם המיקום של הגוף הוא בראשית אזי הפאזה היא אפס. אחכ כתבת במשוואה שאם הגוף בראשית אז הפאזה היא פאי/2.
למיטב הבנתי אם הגוף נמצא בראשית אז זה arccos0 ואז הפאזה שווה לפאי/2. כשהגוף נמצא באמליטודה אז arccos1 ואז הפאזה היא אפס. (?)
&nbsp
בנוגע לסימון, זה נקבע ע"י העניין של המהירות? ממה שהבנתי- ככל שהגוף מתקרב לאמפליטודה המהירות שלו מאטה, עד שהוא מגיע לאמפלי, המהירות מתאפסת ואז הוא צובר מהירות, כשהמהירות המקסימלית היא בנקודת השוויון, וחוזר חלילה.
אם זה אכן כך, איך קובעים את סימון הפאזה? זה לפי הכיוון שאליו הגוף הולך? ז"א שאם נקודת המוצא היא מאזור הראשית אז מסמנים את המהירות במינוס, ואם הגוף הולך מהאמפלי לכיוון הראשית אז המהירות היא חיובית?
&nbsp
מקווה שהשאלות מובנות, ושוב-תודה רבה לשניכם!

 

[סוס כסוף]

תשובות

מה שכתבתי בסוף זה הנכון - אם משוואת התנועה היא עם קוסינוס, אזי בנקודת שיווי המשקל הפאזה היא π/2. אפשר לתאר את התנועה גם באמצעות סינוס ואז בנקודת שיווי המשקל הפאזה היא אפס.
ההעתק והמהירות הם בעלי אותו סימן ואילו התאוצה היא בסימן הפוך (כי הכוח הוא כוח מחזיר). בקצה התנועה ההעתק שווה לאמפליטודה, המהירות היא אפס ואילו התאוצה היא מקסימלית (כי המהירות משנה כיוון מחיובית לשלילית ואז השינוי במהירות הוא מקסימלי). הפאזה נקבעת פשוט מתוך המשוואה X = AcosΦ. (כי t=0). הערך של Φ ייקבע עפ"י הסימן של X במערכת הצירים שאת הגדרת לעצמך. אם תהיי עקבית בסימנים, הפאזה תיתן לך את הnיקום של הגוף ברגע תחילת התנועה.

דבר נוסף: את המהירות והתאוצה אפשר לתאר כפונקציה של הזמן וגם כפונקציה של המרחק. אם תביני את העיקרון יהיה לך קל לזכור ולא תזדקקי לחיפושים ברשת. בנוסף, אני אשתמש במשוואת תנועה עם סינוס במקום עם קוסינוס (בשונה ממה שכתבתי לעיל). שתי המשוואות הן נכונות וקבילות. אני בוחר בתיאור עם סינוס א. כדי שבנקודת שיווי המשקל הפאזה תצא אפס ולא π/2 ו ב'. כדי שבגזירות שלהלן, ההעתק והמהירות ייצאו באותו סימן והתאוצה תצא בסימן הפוך.

X = Asןמ(wt+Φ)
V = X' = wAcos(wt+Φ) = -wA√[1-sin²(wt+Φ)] = -wA√[1 - (X/A)²] = -w√(A²-X²)
a = V' = -w²Asin(wt+Φ) = -w²X

אם יש עוד שאלות - אני פה.

 

[pc girl]

יושב עכשיו הרבה יותר טוב! תודה רבה!

 

[pc girl]

תודה רבה רבה לכם, הנושא הרבה יותר מובן לי