אפס ההופכי של אינסוף

[Deathatred]

../images/Emo132.gif אפס ההופכי של אינסוף ../images/Emo35.gif

כידוע אחד חלקי אינסוף שווה לאפס. אם נכפיל את שני האגפים באינסוף נקבל שאינסוף כפול אפס שווה אחת. מכאן שאפס הוא ההפכי של אינסוף. האם זה נכון? עוד שאלה שקשורה לפרדוקס החלוקה האינסופית (הופיעה במקור כשאלה בפיזיקה אבל אני רוצה להציג אותו בצורה מתמטית): יהיו X ו Y שני מספרים ממשיים שונים אחד מהשני (נניח ש X גדול מ Y). נחלק אותם בשניים, עדיין חצי X גדול מחצי Y. נחזור על תהליך זה אינסוף פעמים. ידוע ש 2 בחזקת אינסוף שווה לאינסוף. לכן, חלוקת X ו Y אינסוף פעמים בשניים שקולה לחלוקה באפס, לכן, אחרי אינסוף פעמים נקבל ש X*K=0 (חלוקה באינסוף) ו Y*K=0 (חלוקה באינסוף) כאשר K הוא חצי בחזקת אינסוף. אבל הרי X גדול מ Y - כיצד זה יכול להיות?

 

[odedee]

בגבולות יש לשחק בזהירות.

בתור התחלה, אחד חלקי אינסוף לא שווה לאפס. הוא שואף לאפס. יש הבדל גדול. הלא במה שלא תחלק את המספר 1, לא תהיה התוצאה שווה לאפס. היא רק תתקרב לאפס ככל שהמספר במכנה גדול יותר. אלו עקרונות בסיסיים של החשבון האינפיטסימלי. שים לב שכל מקום שכתבת "שווה" בגבולות אינסופיים הוא רק גבול, ויש כלים מיוחדים לחישובים שניתן לעשות עם גבולות. האמירה שלך לגבי אי השוויון שגויה. אתה יכול לאמר שכל ביטוי לחוד שואף לאפס ככל שמחלקים אותו בחזקה גדולה יותר של שתיים. אתה גם יכול לאמר ששני הביטויים שואפים לאותו גבול - אפס. אלה לא שוויונות, אלה גבולות. לכן אין פה טעות. אי השוויון יהפוך לאי שוויון של שני ביטויים ששואפים לאפס. אם נרצה נוכל תמיד לדעת "כמה רחוק" צריך ללכת כדי שההפרש בין האגפים יהיה קטן כרצוננו, *ובגבול* שני האגפים אכן ישאפו לאפס וגם ההפרש ביניהם ישאף לאפס. אבל הוא לעולם לא יהיה *שווה* לאפס. ברור שאגף אחד לעולם ישאר קטן מהשני. ככה זה, אינסוף זה דבר מבלבל

 

[Deathatred]

תודה

הפרדוקס בגרסתו המקורית הופיע בשרשור הזה: http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/Viewmsg.asp?id=69&msgid=4638803 אז יהיה נחמד אם תבקר שם ותעשה קצת סדר...

 

[Deathatred]

הבהרה

הפרדוקס הוא כמובן ש X*K=Y*K בעוד ש X>Y.

 

[Halfbaked]

האינסוף החמקני

הבעיה נמצאת בראשית דבריך: "אחד חלקי אינסוף שווה לאפס". ידועה או לא, לאמירה זו אין משמעות ברורה באופן בה ניסחת אותה, שכן "אינסוף" אינו מספר ממשי, ופעולת החילוק המוגדרת על שדה המספרים הממשיים אינה נוגעת לאינסוף כלל וכלל. ואם ברצונך להוסיף מספר בשם "אינסוף" לקבוצת המספרים בהם אתה דן, עליך להגדיר איזו פעולות ברצונך להחיל על המספר החדש, וכיצד. שים לב שקשה להגדיר את הפעולות באופן כזה שקבוצת המספרים החדשה תהווה שדה - שכן בשדה אין לאפס הפכי ולא יתכן "אפס כפול אינסוף שווה אחד". כלומר, אם תנסה להגדיר את הפעולות על המספר החדש באופן הגיוני, תגלה שתצטרך לוותר על חלק מהתכונות הטבעיות של המספרים הממשיים, ומשפטים רבים שהינם נכונים עבור הממשיים לא יהיו נכונים עבור הקבוצה החדשה הכוללת את "אינסוף". ולשאלתך השניה - למעשה הקבוע K שלך אינו אלא אפס (שכן חלוקה "אינסוף" פעמים בשתיים שקולה לכפל באפס), ואכן X*0=0 לכל מספר X, קטן כגדול. האם אתה רואה בכך סתירה?