אלי, הצילו!

iricky

New member
אלי, הצילו!

שאלו אותי חידה שאני לא רואה שום דרך לפתרה, וכמובן כולם מוזמנים לנסות לפתור.

שוו בנפשכם חדר שצורתו תיבה ומידותיה 20X6X6. על האנך האמצעי של אחת הפאות הקטנות מצוי מתג חשמלי בגובה 2 מעל לרצפה. על האנך האמצעי של הפאה שמולה מצוי בית מנורה בגובה 4 מעל לרצפה. החשמלאי שמתקין את מערכת החשמל בחדר נדרש לחבר בקו חשמל את המתג עם בית המנורה. מטעמי בטיחות אסור כמובן שקו החשמל יעבור בחלל החדר אלא רק לאורך הקירות, או הרצפה, או התקרה. דא עקא, שאורך הכבל העומד לרשותו של החשמלאי קטן מ-26. קטן ממש. כיצד עליו לבצע את העבודה?
לכאורה נראה שהקו הקצר ביותר האפשרי בין שתי הנקודות נמתח לאורך האנכים האמצעיים של הפאות ושל הרצפה או התקרה. אבל אורכו של זה הוא בדיוק 26 ולא פחות. ובכן? יש רעיון? השואל אמר שיש פתרון בלי פוילשטיקים.
מצטער שאני לא יכול להמחיש את העניין בשרטוט.
 

אלי כ ה ן

New member
מה הבעיה להעביר אלכסונים על הקירות?

לדוגמה: הגובה מהרצפה עד בית המנורה הוא 4; בעוד שהאורך - מהנקודה הכי תחתונה של האנך האמצעי שעליו מצוי בית המנורה - ועד הקודקוד התחתון הכי קרוב של החדר, הוא 3. לכן, לפי משפט פיתגורס, אורך האלכסון - מבית המנורה - ועד הקודקוד הנ"ל, הוא 5. מכאן כבר קל להתקדם...

אבל למעשה לא צריך למתוח כבל אלכסוני עד הקודקוד ממש. השיטה הכי קצרה היא זו: מותחים כבל אלכסוני על גבי הקיר, מבית המנורה - כלפי מטה - עד שהכבל האלכסוני פוגש את הקיר הגובל, ומשם מותחים כבל אלכסוני שני - כלפי מטה - על גבי הקיר הגובל הנ"ל, ככה שהכבל האלכסוני השני הנ"ל פוגש את הקיר הגובל הבא בתור, ומשם מותחים כבל אלכסוני שלישי כלפי מטה שאמור לפגוש את המתג. לא חישבתי כמה זה יוצא, אבל זה הרבה פחות מ-26.
 

iricky

New member
אלי, קצת רספקט בחייאת

אני אמנם לא מתימטיקאי, אבל יודע קצת חשבון של אלכסונים. בוא נניח ששתי הנקודות הן באותו גובה, ואז אתה לא צריך שום אלכסונים. אז מהאנך האמצעי לקודקוד הקרוב זה 3, אח"כ יש 20 של האורך עד לקודקוד ממול, ואח"כ עוד 3 מהקודקוד עד לנקודה השניה. יחד זה יוצא 26, וזה הכי קצר שאפשר. עכשיו, אם אתה צריך עוד אלכסונים לא חשוב באיזו צורה זה בהכרח יצא יותר. ככה מלמדים מתימטיקה באוניברסיטה?
 

יחיאב

New member
נתי שאל אותך?

כי הוא שאל אותי את זה פעם והתשובה היא באמת באלכסון.
הרעיון הוא שאם אתה פורס את הקופסה הזו של 20X6X6 ומעביר קו אלכסוני בין שני המתגים, תזדקק לפחות מ-26 מטר.
 

iricky

New member
לא נתי, מישהו אחר

מה זאת אומרת פורס? זה לא קופסה מקרטון, זה חדר. אסור להעביר קו ישר בין שני המתגים, כי אז הכבל עובר בחלל החדר.
 

יחיאב

New member
שרטוט

ראה המצורף.
הפריסה של קופסת החדר נועדה רק כדי להראות שניתן למתוח קו קצר יותר מ-26 מטר. החוט עדיין צמוד לקירות.
 

iricky

New member
יש


כל הכבוד-קה
 

אלי כ ה ן

New member
כמובן הרבה יותר גאוני להמציא את החידה מלפותרה

הנה חידה יותר קלה:

על השולחן מונחות חמש קופסאות סגורות ואטומות: באחת יש אוצר, והשאר ריקות. רק אני יודע היכן האוצר. לבקשתי, אתה בוחר שתי קופסאות. כעת אני שואל אותך: האם אתה מעדיף לפתוח את שתיהן; או שמא אתה מעדיף, שמתוך השלוש שלא בחרת - אצביע על שתיים ריקות, ואז אתה תורשה לפתוח קופסה אחת בלבד מתוך החמש?

רוב אלו ששומעים על החידה בפעם הראשונה, מעדיפים את המסלול הראשון (זה שבו פותחים שתי קופסאות מתוך החמש המסופקות) - על פני המסלול השני (זה שבו פותחים רק קופסה אחת מכל השלוש המסופקות), אבל הנכון הוא שעדיף המסלול השני, והשאלה היא למה.
 

iricky

New member
טוב, זה מסוג החידה של מונטי הול

כמובן שתמיד עדיף המסלול שיש בו ההסתברות הגדולה ביותר לזכיה, רק צריך לדעת לחשב את ההסתברויות נכון, וזה לפי תנאי החידה לא כל כך פשוט כי זה מתנגד לאינטואיציה.
ההסתברות לזכיה במסלול הראשון היא 2/5 ואילו במסלול השני, אם בוחרים בקופסא השלישית (כלומר לא אחת מהשתיים שבחרנו בראשונה) היא 3/5. הטעם לזה הוא שבתחילה היו אותן 3/5 מפוזרות בין שלוש הקופסאות שלא בחרנו. עכשיו ששתיים מהן יצאו מהמשחק אז כל ה3/5 נופלות על האחת שנשארה. פשוט, אבל לא אינטואיטיבי.
 

אלי כ ה ן

New member
יפה מאד! אבל הנוסח שלי עדיף מזה של מונטי הול:

הנוסח של החידה שהיצגתי, יוצר משבר אינטואיטיבי גדול מזה שנוצר בחידה של מונטי הול: אצלו מדובר על שלוש קופסאות בלבד, ואז השאלה היא האם עדיף לך לבחור קופסה אחת ולפתוח אותה, או לבחור אחת, ואז לחכות שאגיד לך איזו מבין השתים האחרות ריקה ואז תפתח את השלישית. בחידה כזו ,של שלוש קופסאות בלבד, המשבר האינטואיטיבי אינו כל כך חמור, כי אמנם רוב בני האדם ישיבו בטעות שלא משנה האם לפתוח את הקופסה הראשונה או השלישית, אבל עדין תשובתם לא לגמרי תתנגש עם התשובה האמיתית, שהרי גם הם מודים שפתיחת הקופסה השלישית אינה טעות, כלומר - אם מישהו יחליט לפתוח את הקופסה השלישית - הם לא ינסו להשפיע עליו שיחזור בו, ככה שהמחלוקת - שבין התשובה הנכונה לבין זו שהם יתנו - היא לא לגמרי משמעותית. מה שאין כן בנוסח שהיצגתי כעת - עם חמש קופסאות, נוצר משבר אינטואיטיבי אמיתי, כי מתעוררת מחלוקת אמיתית בין התשובה הנכונה לבין זאת הניתנת בטעות.
 

iricky

New member
אני ממש לא מסכים אתך

גם בחידה שלך יש במסלול השני שלוש קופסאות שצריך לבחור באחת מהן, והחכמה הגדולה היא לזהות שההסתברות לזכיה לא מתחלקת שווה בשווה בין הקופסאות, בדיוק כמו בחידה של מונטי הול.
 

אלי כ ה ן

New member
כנראה לא פירשת נכון את כוונתי

לא התכוונתי לטעון, שרמת הקושי בפיתרון-החידה שלי - גדול מזה שבפיתרון-החידה של מונטי הול, כי ברור שמדובר באותה רמת קושי - כפי שהיבהרת אל נכון; אלא התכוונתי לטעון, שהמשבר האינטואיטיבי הנוצר כשנחשפים (בלי קבלת הסבר) לפיתרון הנכון של החידה שלי, גדול מזה הנוצר כשנחשפים (בלי קבלת הסבר) לפיתרון הנכון של חידת מונטי הול. למה? את זה היסברתי בהודעתי הקודמת.
 

iricky

New member
האינטואיציה כמובן אומרת

שההסתברות לזכיה במסלול השני היא 1/3 ללא תלות בקופסא שבוחרים, וזה פחות מ 2/5 . אבל האינטואיציה הזו לא לוקחת בחשבון את כל האינפורמציה הקיימת בתנאי החידה, ותוספת האינפורמציה מאפשרת להעלות את ההסתברות לזכיה.
 

iricky

New member
עכשיו רק נותר להזביר

למה הפתרון הזה עובד ולמה החשיבה על קוים ישרים לא.
יש מישו?
 

אלי כ ה ן

New member
מסתומרת? תמיד העברת אלכסון מקצרת יותר.

מאשר חיבור של קוים ישרים. כמו שלמשל במשולש ישר-זוית, אם הבסיס הוא שלוש והניצב הוא ארבע, אז האלכסון הוא חמש, שזה יותר קצר מהחיבור של שלוש וארבע. זה חדש לך?

אמנם כשזה תלת-מימדי, אז עצם החישוב של האלכסונים נעשה מורכב יותר (אם כי ניתן לפשט את החישוב ע"י רעיון הפריסה שהוצג ע"י יחיאב), אבל עדין - השגת קיצור-הדרך הנדרש בחידה - מבוססת על אותו רעיון עתיק של הקיצור שישנו בכל אלכסון כפי שהדגמתי בתחילת דבריי.
 

iricky

New member
עקרונית זה כמובן נכון

אבל הבעיה כאן היא לראות איך בדיוק להעביר את האלכסון במקרה זה כך שיקצר חיבור של שני ישרים, וזה ממש לא טריויאלי. ואפילו כשהפתרון ידוע עדיין זה לא טריויאלי לזהות איפה בדיוק חוסך האלכסון במקרה הספציפי הזה. מה אתה אומר?
 

אלי כ ה ן

New member
כמובן שזה לא טריויאלי ואני עצמי רמזתי לכך

כשכתבתי לך, שהמצאת החידה היא משהו גאוני (יותר מאשר פתירתה). גאונות, זה בין השאר אומר גם אי-טריויאליות (כמובן לא רק).

לגופה של שאלתך: הבה נבחין בין אינטואיציה לבין בירור מעמיק. האינטואיציה של הפיתרון, מבוססת על קיצור הדרך הקלאסי שישנו בכל אלכסון - כפי שידוע עוד מימיו של פיתגורס. מאידך, אם רוצים בירור יותר מעמיק - כזה שגם יחדור אל מעבר לאינטואיציה העמומה, אז כבר נדרש חישוב מדוייק, שכמובן יכול להיעזר ברעיון האינטואיטיבי של הפריסה - תוך שימוש חד-פעמי במשפט פיתגורס; אם כי ניתן לעקוף את רעיון הפריסה, אם מציינים היכן בדיוק עוברות נקודות ההצטלבות של האלכסון עם הקירות, מה שכמובן דורש שימוש במשפט פיתגורס ארבע פעמים לפחות. רעיון הפריסה הוא פשוט דרך אלגנטית שחוסכת בשימוש במשפט פיתגורס.
 

iricky

New member
אז זהו כל העניין

שאפשר לזהות איפה חוסך האלכסון מבלי להכנס לחישוב המפורט. רק על סמך שיקול הגיוני איכותי, לא כמותי. החכמה מתבטאת במציאת צירוף המידות שבו העסק עובד לא רק מבחינה איכותית אלא גם מבחינה כמותית. רמז - במצב שבו שתי הנקודות באותו גובה שום אלכסון לא יעזור.
 
למעלה