חידה בתורת המספרים

[alon14]

חידה בתורת המספרים

תסתכלו על המספר 6. יש לו 2 מחלקים, חוץ מ-1 ומעצמו: 2 ו-3. כלומר, מתוך המספרים בין 1 לעצמו, שליש הם מחלקים שאינם 1 ועצמו. נגדיר יעילות של מספר כאחוז המחלקים, במקרה של 6 זה שליש. עכשיו, תבדקו את 12. יש לו את אותה יעילות (2, 3, 4 ו-6 הם המחלקים). עכשיו, תבדקו, נגיד את 24. היעילות שלו היא רבע. למעשה, אין אף מספר חוץ מ-6 ו-12 שהיעילות שלו היא שליש ומעלה (תזכרו שהיעילות של הראשוניים היא תמיד 0!). והחידה: תוכיחו שאכן אין מספר חוץ מ-6 ו-12 שהיעילות שלו היא לפחות שליש!

 

[swirrrly]

לא הבנתי כלום...

 

[alon14]

בשפה פחות פורמלית:

למספר 6 יש 2 מחלקים חוץ מאחד ועצמו, כלומר שליש מהמספר עצמו. כנ"ל 12. החידה היא להוכיח שאין אף מספר חוץ מ-6 ו-12 שמגיע או עובר את השליש הזה.

 

[General specific]

הממ

יש תשובה לזה שאני לא אתאמץ סתם ואחרי זה אגלה שאף אחד לא הצליח להוכיח את זה עדיין.

 

[alon14]

יש תשובה, זה בסדר ../images/Emo13.gif

 

[alon14]

הקפצה

או בעברית bump

.

 

[01001101]

מקפיץ ומתעניין

 

[alon14]

צריך לפחות 10 תווים בגוף ההודעה

וההודעה מפסיקה לקפוץ עוד עוד 3 שעות

. ואף אחד עוד לא ניסה.

 

[Le Freak]

ניסיתי אבל..

אתה חושב שאפשר לפתור את זה עם ידע של כיתה י´? (ידע כושל .. מבחני קיץ )

 

[alon14]

זו שלאה תיאורטית

צריך קצת ידע בסיסי בתורת המספרים שאמור להיות לך, ותו לא.

 

[alon14]

רמז קטן למי שרוצה

נסו להתחיל עם ההגדרה של 6 כ-2*3, ולמצוא דרכים כלליות למציאת מספר יעיל יותר לכל מספר נתון.

 

[01001101]

היה לי איזה רעיון - האם אני בכיוון?

התחלתי לשרבט את ציר המספרים עם פיתוח לרמות של מחלקים וראיתי שרמה חדשה יכולה להגיע כל חזקה של 2 - 4, 8, 16, 32. ואז ניסיתי להראות את זה עם הגרף של לוג בסיס שתיים של X (כפול 2 כי בכל רמה יכולים להיות במקרה הטוב ביותר שני מחלקים חדשים) לעומת Y=X, לפי זה ברור שבמספרים הגבוהים יעילות המספרים הולכת ויורדת. אבל מהר מאוד נמאס לי מכל הסיפור כי זה נראה לי די מכוער...

 

[alon14]

בוא נראה

דווקא החזקות של 2 הן מאוד לא יעילות. למעשה, הפתרון שאני מצאתי לא כלל אותן (ואת הראשוניים), אבל עליהן הוכחתי את הטענה בשיטה אחרת. אגב, בדוק את המספר 15. יש לו שני מחלקים. אם מכפילים אותו בשתים מקבלים 6 מחלקים - כך שהוספנו 4. בכל מקרה, זה רעיון יפה.

 

[Shiberia]

רק התחלה ואין לי כוח עוד

טוב אז כל מספר טבעי X אפשר לייצג כמכפלה של ראשונים Pi בחזקת Ki. אז יעילות של מספר x היא מכפלת כל (Ki+1) נסמן ב q . צ"ל ש q חלקי x לא יכול להיות גדול מ שליש. קשה לי לכתוב כאן.

 

[Shiberia]

טקילה

מרגריטה ושאר תפוזים