חידה מתמטית.

[Renatius Cartesius]

חידה מתמטית.

עבור איזה ערך של p (מספר ראשוני) הסכום zzz p^2+2^p הוא ראשוני. כמה פתרונות קיימים? המשך... עבור איזה ערך של p (מספר ראשוני) הסכום zzz p^3+3^p הוא ראשוני. כמה פתרונות קיימים? המשך... עבור איזה ערך של p (מספר ראשוני) הסכום zzz p^q+q^p הוא ראשוני. כמה פתרונות קיימים? (p ו- q שונים זה מזה) את האחרון המצאתי לבד... (עדיין לא פתרתי...)

 

[Renatius Cartesius]

הערה להמשך מספר 2:

q ראשוני. p ו- q זרים זה לזה.

 

[יאיר של תמר]

חלקי..

(מקווה שהתשובה שלי לא "טפשית".. מעולם לא למדתי את תורת המספרים.) נטפל ב P^2 מכיוון ש P ראשוני (ובתנאי ש P אינו 3) אז: P = 1 (mod 3) zzz או p = 2 (mod 3) zzz במקרה הראשון : p * p = 1 * 1 = 1 (mod 3) zzz במקרה השני : p * p = 2 * 2 = 1 (mod 3) zzz בכל מקרה יצא ש P^2 מתחלק ב-3 שארית 1. נראה ש- zzz 2^P מתחלק ב-3 שארית 2... ואז החיבור שלהם מתחלק ב-3. (זאת נראה עבור P השונה מ-2) אפשר לראות ש- zzz 2^P מתחלק ב-3 שארית 2 אם P הוא אי-זוגי. zzz 2^1 = 2 (mod 3) zzz zzz 2^2 = 1 (mod 3) zzz מתוך המשפט של מכפלות mod קל להראות ש zzz 2^(1+2N) zzz נותן שארית 2. כי : zzz 2^(1+2N) = 2^(1+2+2+...+2) = 2^1 * 2^2 * 2^2 * ... * 2^2 = 2 * 1 * 1 * ... * 1 = 2 (mod 3) zzz נשארנו עם שני מקרים מיוחדים, 3 ו-2. עבור 2 לא נקבל שום דבר מיוחד, אבל עבור 3 נקבל 17...

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif יפה...

ראית את חידת השח? (מפחידה כל כך...) לילה טוב...

 

[יאיר של תמר]

המשך...

zzz 3^P + P^3 ZZZ חמוד.. גם כאן יש פיתרון יחיד של 17 (אם P = 2) אם P אינו 2 אז ... P^3 הוא מכפלה של מספרים אי-זוגיים -> ולכן גם אי-זוגי. zzz P^3 גם הוא מכפלה של מספרים אי-זוגיים -> ולכן גם אינו זוגי. חיבור של שני אי-זוגיים הוא זוגי, ולכן אינו ראשוני.

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif והאחרון...

על אותו רעיון...

 

[יאיר של תמר]

סופי...

עבור P^Q + Q^P מכיוון ש-P ו-Q שונים מ-2 (כי במקרה שאחד מהם 2 - כבר טיפלנו) אז P^Q וגם Q^P הם מכפלות של מספרים אי זוגיים, ולכן שני הביטויים אי-זוגים. וסכומם מתחלק ב-2.

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif בראבו! ../images/Emo45.gif

 

[יאיר של תמר]

וגם...

אין צורך לדרוש ש-P יהיה שונה מ-Q..

 

[יאיר של תמר]

כל הכבוד על החידה..

היא גם נחמדה, גם מקורית.. וגם הכניסה אותי קצת לתורת המספרים ... תודה

 

[Renatius Cartesius]

אין על מה! ../images/Emo13.gif

 

[Renatius Cartesius]

אז הכל יהיה פשוט מידי. ../images/Emo13.gif

 

[יאיר של תמר]

אולי...

אבל החידה הזו גרמה להבין טיפה'לה את המבוא של הפתיחה של תורת המספרים...

 

[ייץ]

אם הבנתי את החידה נכון אז

P ראשוני, Q לא בהכרח ראשוני. במקרה זה בהחלט קיימים P ו Q (זוגי) כך שהתוצאה תיתן מספר ראשוני.

 

[גיל14]

ובכן (חידה שהופיעה כבר)

הוכח שאין ראשוני פרט ל-5 המופיע עבור p^4+4^p.

 

[Renatius Cartesius]

אפשר לפתור?

ניתן לאחרים לנסות...? איזה רעיון יפה מתחבא שם.... (הסופיות של המספרים הראשונים...)

 

[יאיר של תמר]

גם...

אני מצאתי

.. אבל בלי רעיון יפה

...

 

[טלמון סילבר]

אפשר בבקשה תרגום השאלה לעברית?

 

[Renatius Cartesius]

האם ניתן גם לאחרים לפתור?

ככה הרבה יותר טוב.

 

[טלמון סילבר]

הזכרת לי את הסיפור על הבחורה במעלית,

שכשכבו האורות נתנה סתירה בכלל למישהו אחר

אבל לא נגזים.