חידה מתמטית.

[גיל14]

כמובן

(בשעות כנ"ל אני מוצא את עצמי מדבר ללא הרף בשפה שאינה עברית

) הוכח שלא קיימים p>5 ראשוני, וn טבעי, כך ש-n^4+4^n = p.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo51.gif

כך גם ניחשתי אח"כ. גם אני הייתי עייף. הפתרון אכן מיידי.

 

[Renatius Cartesius]

מה זה מיידי בשבילך?

 

[טלמון סילבר]

הצג את הפתרון שלך.

 

[Renatius Cartesius]

אז ככה...

בהתחלה חשבתי להציב את הביטוי zzz 3m+1 במקום p , אבל זה לא קידם אותי... בניתי 4 קונגרואנציות: zzz p=1(mod10) zzz zzz p=3(mod10) zzz zzz p=7(mod10) zzz zzz p=9(mod 10) zzz כשהעליתי את כולם בחזקה רביעית שמתי לב למשהו מעניין (הייתה לי בעיה שלא מזמן השתמשתי באותו הרעיון) כל הקונגרואנציות הסתכמו לקונגרואנציה אחת: zzz p=1(mod10) zzz ומכאן: zzz p^4=1(mod10) zzz נעבור למחובר הבא: zzz 4^p נשים לב לקונגרואנציה הבאה: zzz 4=4(mod10) zzz הרחבתי את זה לכל חזקה אי-זוגית. הוכחתי באמצעות אינדוקציה) לבסוף, קיבלתי: zzz 4^p=4(mod10) zzz נשאר לחבר את הקונגרואנציות: zzz p^4+4^p=5(mod10) zzz או... zzz p^4+4^p=0(mod5) zzz ואז פשוט נשאר פחות מספרים לבדוק... מקווה שמש"ל...

 

[גיל14]

../images/Emo127.gif אבל הסתבכת. יותר פשוט. ../images/Emo13.gif

 

[טלמון סילבר]

הלכתי בכיוון כזה

אם n זוגי, אז הביטוי אינו ראשוני, ולכן אפשר להסתפק בחקירת n אי-זוגיים.

n = 2k - 1 (k = 1, 2, 3, . . .) 4^n + n^4 = = (2^n)² + (n²)² = = (2^n)² + 2(2^n)(n²) + (n²)² - 2(2^n)(n²) = = [(2^n) + (n²)]² - 2(2^n)(n²) = = [(2^n) + (n²)]² - 2 * (2^(2k-1)) * (n²) = = [(2^n) + (n²)]² - (2^(2k)) * (n²) = = [(2^n) + (n²)]² - (2^k)² * (n²) = = [(2^n) + (n²)]² - [(2^k) * n]² = = {[(2^n) + (n²)] + [(2^k) * n]} * {[(2^n) + (n²)] - [(2^k) * n]}​

כלומר, פשוט מפרקים את הביטוי לשני כופלים! ומה שנשאר עכשיו, זה רק למצוא את כל המקרים בהם אחד הכופלים שווה 1 או מינוס 1, ולראות למה שווה הכופל האחר.

:הכופל הראשון 2^n + n² + (2^k)*n ≥ 2^1 + 1² + (2^1)*1 = 5 :השני 2^n + n² - (2^k)*n = = 2^(2k-1) + n² - (2^k)*n = = [(2^k)² - 2*(2^k)*n + n² + n²] / 2 = = {[(2^k) - n]² + n²} / 2​

ולא אמשיך לפרט (גם ככה כתבתי בצורה מפורטת מאוד), מדוע הביטוי שווה 1 רק כאשר k=n=1.

 

[טלמון סילבר]

בעצם, אם כבר

כל כך פירטתי עד כאן, אז מדוע לא לפרט עד הסוף? ובכן, הביטוי:

{[(2^k) - n]² + n²} / 2 ≥ n² / 2​

גדול מ-1 כאשר n גדול מ-1, והכופל שווה 1 כאשר n=1.

 

[גיל14]

../images/Emo127.gif זו הדרך שלי.