מגהמח (אוף, הכינוי הילדותי הזה)

[Lu Tze]

תודה על ההסבר

בכל מקרה, אתה צודק כשאתה אומר שתיאוריה מתמטית לא צריכה להתבסס על אקסיומות נכנות אבל במקרה כזה התוצאות לא יהיו תואמות את המציאות (כי אם הנחת המוצא לא נכונה גם התוצאות יהיו לא נכונות)

 

[טלמון סילבר]

הערות להסבר

מכיוון שקצת למדתי את זה, הרשו לי מספר הערות. ראשית, ויזיני צודק, שבמתמטיקה המונח "אקסיומה" פרושו בסה"כ הגדרה. מגדירים קבוצת אובייקטים מופשטים עם תכונות מסויימות, וסך כל ההגדרות נקראות אקסיומות. המתמטיקה אינה מתיימרת בכלל "לשקף את המציאות", אלא לספק כלי-עזר לבניית מודלים. למשל המספרים המרוכבים, הכוללים מספר מלאכותי, שאינו קיים ב"טבע", שהריבוע שלו שווה מינוס אחד. מספרים אלה, כאמור, אינם קיימים במציאות, אבל השימוש בתכונותיהם מספק כלים רבי-עוצמה לפיתוחים שונים הקשורים בטבע, למשל בתורת החשמל. בימי אוקלידוס אכן קראו "אקסיומה" ל"אמת שאינה דורשת הוכחה", אך בלשון הדיבור היום, לדעתי, יהיה נכון להשתמש (ספרותית) במילה זו במובן "מוסכמה", וגם הצעתי כבסיס לכל ויכוח לוגי להידבר קודם מראש על מוסכמות מסויימות, על מונחים מוסכמים על שני הצדדים, ורק אח"כ להיכנס לוויכוח. אלא אם כן הערפול הוא חלק מהמשחק. היו קצת יותר מ-5 אקסיומות. לאלו שניסוחן היה ארוך יותר, אוקלידס קרא "פַּסטוּלָטים". הפסטולט החמישי הוא, אמנם בניסוח שונה, זהה לאקסיומת המקבילים. בגלל שהוא "נשמע ארוך", קם ספק בלבם של מתמטיקאים רבים במשך הדורות: האם אפשר להוכיח אותו, בהתבסס על שאר האקסיומות? ואז אפשר יהיה למחוק אותו מרשימת האקסיומות, כי הוא יהפוך למשפט. גם לובצ´בסקי ניסה להוכיח את הפסטולט החמישי של אוקלידס. הוא אמר: נניח שדרך הנקודה עוברים שני מקבילים לישר הנתון (וביניהם אינסוף מקבילים נוספים), בואו נראה איזו סתירה תתקבל. תיקון קטן: זוהי אכן "הגאומטריה של לובצ´בסקי". בגאומטרית רימן אין מקבילים בכלל. ולא להיפך. בקיצור התקבלה גאומטריה משונה מאוד אבל... ללא סתירות פנימיות! לובצ´בסקי, שהיה רקטור אוניברסיטת קָזָן, החליט שאוקלידס טעה, והגאומטריה החדשה שלו היא הנכונה, והחל לעסוק במדידות אסטרונומיות לאישור הנחתו. בקיצור, היום הוכיחו שאוקלידס צדק. צדק בזאת, שאקסיומת המקבילים אכן מהווה אקסיומה בלתי תלוייה בשאר האקסיומות! היום מקובלת מערכת האקסיומות המסודרת של הילברט. כל אקסיומה אפשר להעיף ממערכת זו ולהחליפה במשהו מנוגד, ולמצוא מודל מתמטי שיתאים למערכת המתקבלת, ובאופן זה להמחיש את אי-תלות האקסיומות זו בזו. ובפרט, אפשר להעיף ממנה את אקסיומת המקבילים ולהחליפה בגרסת לובצ´בסקי או רימן, ופשוט תתקבל גאומטריה אחרת. המילים "איזו מהן יותר נכונה" הן חסרות משמעות, כולן "נכונות" במידה שווה.

 

[vizini]

כן, נכון.

המודל לגיאומטריה של רימן הוא פני כדור. במודל זה ה"ישרים" הם מעגלים גדולים כלומר מעגלים המהוים קוטר. קל להיווכח כי לכל נקודה מחוץ ל"ישר" נתון (מעגל גדול) כל ישר (מעגל גדול) העובר דרך הנקודה הזו יחתוך את הישר הראשון, ולכן לא יהיה מקביל לו.

 

[Lu Tze]

מעניין, בכל מקרה, הנקודה שלי היא

שאם רוצים שחישוב כלשהו ישקף את המציאות יש להתבסס על אקסויומות נכונות (הה, רעיון מעניין "אקסיומה נכונה" אבל הבנתם את הרעיון) ואי אפשר לצאת מהקודת הנחה שקיים אלוהים כדי להוכיח את קיומו. זה הכל.

 

[vizini]

חוש ההומור שלך לא משהו...

 

[רון סי]

שתיים ועוד שתיים שווה ארבע?

זה רק בראש שלך. אפשר בקלות רבה לתאר מציאות שבה שתיים ועוד שתיים יכול להיות שווה לארבע רק בסבירות מסויימת, ובאותו זמן יכול להיות שווה לשלוש או לחמש, בסבירות אחרת. למעשה, אפשר לחשוב על מציאות שבה שתיים ועוד שתיים שווה לשלוש, ארבע וחמש בו זמנית.

 

[טלמון סילבר]

כן, רק ארבע.

כאשר אנו מדברים על הדברים האלה שבראש שלנו נקראים "שתיים", "שלוש", "ארבע", "חמש", "ועוד", "שווה", אז תמיד שתיים ועוד שתיים שווה ארבע, לעולם לא שתיים ועוד שתיים שווה שלוש, לעולם לא שתיים ועוד שתיים שווה חמש.

 

[רון סי]

ודאי

אבל מה שבראש שלנו זה לא הדברים היחידים שאנחנו יכולים לחשוב עליהם. למשל, אפשר לכתוב תוכנית מחשב שמממשת עולם וירטואלי, בו חיות יישויות וירטואליות, ושבו כללי החשבון הרגילים מקבלים חוקיות חדשה. למשל, ששתיים ועוד שתיים זה ארבע, נאמר, ברבע מהמקרים. בשאר המקרים זה יוצא שלוש, חמש, או מספר אקרעי. כשיישות כזו הולכת למכולת וקונה שני מוצרים בשני שקלים כל אחד, היא יודעת שברבע מהמקרים היא תצטרך לשלם ארבעה שקלים, ברבע היא תרויח שקל, ברבע תפסיד (ביחס למצב הארבע) וברבע צפויה לה הפתעה מרתקת.

 

[Lu Tze]

רעיון מעניין

אבל יש יותר מדי משתנים מכדי שיהיה אפשר לעשות דבר כזה כיום כי העובדה ששתים ועוד שתיים משפיעה על, מילולית, כל דבר

 

[preacher]

אתה יכול להגיד דבר כזה,

כמו שאתה יכול להגיד "חבל בעל קצה אחד", או משולש עם ארבע צלעות" או "חור של בייגלה בלי בייגלה", אבל אתה לא יכול לדמיין את זה... לראות בעיני רוחך שני תפוזים שכשאתה מוסיף אליהם עוד תפוז יתקבלו ארבעה.

 

[טלמון סילבר]

אבל יש משטח עקום

בעל צד אחד בלבד: טבעת מוביאוס, או בקבוק קליין.

 

[L7]

על טבעי-לוגיקה אחרת או לא לוגיקה

אפשר במערכת הלוגית הקיימת להוסיף אקסיומות ולקבל מערכת לוגית עמידה למדי - כרוכה בעל טבעי דתי למינהו אפשר לטעון לאי רלוונטיות של הלוגיקה- אבל אז מדובר בכפירה בכל. או כפירה במה שמתחשק- בסיגנון הפוסט מודרניסטי המתנגד למדע ורואה אידאל במגדל בבל בכל דיסיפלינה בגישה זו שתיים ועוד שתיים הם יתכן שלוש למרות שחשוב לציין ש- %^&*)(# (לאור יום!!!!)

 

[preacher]

וגם יש צורה גאומטרית הנקראת "קרן"

שהיא קו עם התחלה וללא סוף, עכשיו שהזכרת את זה. אתה יודע מה, אולי זו לא היתה דוגמה טובה. הייתי מתקן לחבל בעל אורך סופי וקצה אחד, אבל לא משנה. הכוונה שלי הובנה גם ככה.

 

[רון סי]

לחבל יש שני קצוות

בהסתברות מסויימת. יש סיכוי אחר שיהיה לו רק צד אחד (כלומר - הוא אינסופי) או שיהיו לו כמה קצוות (כלומר, אם תתחיל לעקוב מקצה אחד תגיע לשני, תסמן אותו, תחזור לראשון, תעקוב שוב, ותגיע לקצה חדש, לא מסומן). אותו דבר צורות גאומטריות, שמספר צלעותיהן ידוע מראש רק בהסתברות כלשהי. אני לא רואה שום בעיה לדמיין את זה. לוקחים תפוז, לוקחים עוד אחד, סופרים - ויש שלושה. מה הבעיה לדמיין את זה?

 

[preacher]

אולי הדמיון של ך מפותח.

אני לא יכול לדמיין דבר כזה.

 

[G o v er no r]

טוב הנה החלפתי שם. למשהו יותר טוב

 

[Lu Tze]

בד"כ הייתי מתנגד ל"גניבת הזכויות"

אבל מכיוון שגוברנור קורא לך בשמות גנאי אני מניח שגם אתה יכול (למרות שמצאת דרך לא מקורית לעשות את זה) אבל עדיין לא ענית לשאלה שלי ואני עדיין מחכה לקישור להוכחות של אריסטו.