מדוע לא קיים פתרון כללי למשוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית מסדר 2?

[Vivaldi2021]

שלום

נניח משוואה כללית הבאה עם תנאי התחלה, שבאופן כללי השורשים של המשואה האופינית הם מרוכבים או ממשיים, אזי הפתרון הכללי הוא מהצורה הבאה, אשר תמיד מבדילה בין מצב שבוא שני השורשים שונים, לבין מצב שבו הם זהים:


השאלה שלי היא, מדוע אין פתרון כללי באמת ומאוחד? מה כל כך מיוחד במצב ששני השורשים מתלכדים? ומהיכן מגיע המשתנה X בכפל של האקסמוננט השני? הפתרון לשורשים מרוכבים ושוני כולל בתוכו גם פתרון הרמוני עם פונק' קוסינוס וסינוס, אבל לעולם לא כולל בתוכו את המקרה הפשוט של שורשים מתלכדים. מדוע? האם יש פתרון יותר כללי שעי הצבה שת תנאי ההתחלה והשורשים, היו אלו אשר יהיו, יחזיר תמיד את הפתרון הנכון, כולל המקרה של שורשים מתלכדים?

בשום ספר מתמתיקה או פיזיקה לא מצאתי דבר כזה. תמיד מפרידים בין המקרים ומתיחסים לגורם ריסון, שאינו רלוונטי לבעיה מתמטית כללית.

תודה

 

[הפרבולה1]

אני מציע שתפתור את המשוואה עבור המקרה הכללי ( שבו s1 לא שווה ל s2 ) עם תנאי ההתחלה , אתה אמור לקבל שהקבועים C1 C2 הם:

zzz C1= (Yz*s2-Yd) / d zzz
zzz C2= (Yd-Yz*s1) / d zzz

כאשר d = s2-s1

תציב בפתרון הכללי ( שבו s1 לא שווה ל s2 ) וכעת תמצא למה שואף הפתרון כאשר d שואף ל 0 ( כלומר s1 שואף ל s2 ) , לי יצא שהפתרון הופך להיות
zzz Y(x) = Yz * exp(s*x) + ( Yd - Yz*s) * x * exp(s*x) zzzz

כלומר בגבול שבו s1 שואף ל s2 אז האקספוננט השני מוכפל ב x