מספרים ראשוניים

[עריסטו]

תוכיחו שיש:
1. אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 3n+2
2. אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 4n+3

 

[Lucifer LightBringer]

תרגילים מהספר של ברטון...

been there and I think done that...

תביא תרגילים מהפרק האחרון על משוואת פל.
זה מדהים איך פעם כשהייתי טודלר קראתי ופתרתי את כל התרגילים מהספר בלי המדריך למידה.
השיטה של פרמה באמת הייתה יפה.

Proof by infinite descent - Wikipedia

en.wikipedia.org

תמיד מפתיע אותי שלעורך דין יש זמן להתעסק במתמטיקה גבוהה.

 

[הפרבולה1]

1:
נניח שמספר הראשניים מהצורה 3n+2 הוא סופי. ויש n מספרים כאלו 2, 5, 11, 17, 23, 29, ......Pn
נסתכל על מכפלתם zzz S = 2*5*11*17*23*29*....*Pn zzz
זה מספר זוגי מהצורה 3n+1 ( אם n זוגי ), או 3n+2 (אם n איזוגי ) .
אם S=3n+1 נגדיר S1=S+1
אחרת נגדיר S1=S+3
S1 הוא מהצורה 3n+2 ואינו מתחלק באף אחד מהגורמים 2, 5, 11, ...Pn , לכן גורמיו הראשוניים הם רק מהצורה 3n+1 , אבל מכפלה של גורמים אלו נותנים שוב מספר שהוא מהצורה 3n+1 בסתירה לכך ש S1 הוא מהצורה 3n+2.

 

[עריסטו]

1:
נניח שמספר הראשניים מהצורה 3n+2 הוא סופי. ויש n מספרים כאלו 2, 5, 11, 17, 23, 29, ......Pn
נסתכל על מכפלתם zzz S = 2*5*11*17*23*29*....*Pn zzz
זה מספר זוגי מהצורה 3n+1 ( אם n זוגי ), או 3n+2 (אם n איזוגי ) .
אם S=3n+1 נגדיר S1=S+1
אחרת נגדיר S1=S+3
S1 הוא מהצורה 3n+2 ואינו מתחלק באף אחד מהגורמים 2, 5, 11, ...Pn , לכן גורמיו הראשוניים הם רק מהצורה 3n+1 , אבל מכפלה של גורמים אלו נותנים שוב מספר שהוא מהצורה 3n+1 בסתירה לכך ש S1 הוא מהצורה 3n+2.

קצת יותר פשוט (בלי לחלק לשני מקרים):
אם קיימים ראשוניים a,b,c,d מהצורה 3n+2, נסתכל על הביטוי
3abcd-1
הוא מהצורה 3n+2 ולא מתחלק ב-a,b,c,d.

 

[הפרבולה1]

קצת יותר פשוט (בלי לחלק לשני מקרים):
אם קיימים ראשוניים a,b,c,d מהצורה 3n+2, נסתכל על הביטוי
3abcd-1
הוא מהצורה 3n+2 ולא מתחלק ב-a,b,c,d.

אז לגבי שאלה 2 אפשר באופן דומה , נניח שמספר הראשוניים מהצורה 4n+3 הוא סופי ושווה ל k.
נסתכל על הביטוי
zzz S= 4*p1*p2*p3*....*pk - 1 zzz
כאשר p1...pk אלו כל הראשוניים מהצורה 4n+3
S הוא מהצורה 4n+3 ואינו מתחלק באף אחד מהראשוניים p1...pk ולכן גורמיו הראשוניים הם רק מהקבוצה 2 , 4n+1 , אבל כל מכפלה שלהם לא יכולה להיות שווה ל S .

 

[עריסטו]

אז לגבי שאלה 2 אפשר באופן דומה , נניח שמספר הראשוניים מהצורה 4n+3 הוא סופי ושווה ל k.
נסתכל על הביטוי
zzz S= 4*p1*p2*p3*....*pk - 1 zzz
כאשר p1...pk אלו כל הראשוניים מהצורה 4n+3
S הוא מהצורה 4n+3 ואינו מתחלק באף אחד מהראשוניים p1...pk ולכן גורמיו הראשוניים הם רק מהקבוצה 2 , 4n+1 , אבל כל מכפלה שלהם לא יכולה להיות שווה ל S .

נכון

 

[בחשכת הלילה]

קצת יותר פשוט (בלי לחלק לשני מקרים):
אם קיימים ראשוניים a,b,c,d מהצורה 3n+2, נסתכל על הביטוי
3abcd-1
הוא מהצורה 3n+2 ולא מתחלק ב-a,b,c,d.

a,b,c,d - התכוונת כל הראשוניים מהצורה 3k+2 (אם מספרם סופי)?