מספרים ראשוניים

[עריסטו]

תוכיחו שיש:
1. אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 3n+2
2. אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 4n+3

 

[Lucifer LightBringer]

תרגילים מהספר של ברטון...

been there and I think done that...

תביא תרגילים מהפרק האחרון על משוואת פל.
זה מדהים איך פעם כשהייתי טודלר קראתי ופתרתי את כל התרגילים מהספר בלי המדריך למידה.
השיטה של פרמה באמת הייתה יפה.

Proof by infinite descent - Wikipedia

en.wikipedia.org

תמיד מפתיע אותי שלעורך דין יש זמן להתעסק במתמטיקה גבוהה.

 

[הפרבולה1]

1:
נניח שמספר הראשניים מהצורה 3n+2 הוא סופי. ויש n מספרים כאלו 2, 5, 11, 17, 23, 29, ......Pn
נסתכל על מכפלתם zzz S = 2*5*11*17*23*29*....*Pn zzz
זה מספר זוגי מהצורה 3n+1 ( אם n זוגי ), או 3n+2 (אם n איזוגי ) .
אם S=3n+1 נגדיר S1=S+1
אחרת נגדיר S1=S+3
S1 הוא מהצורה 3n+2 ואינו מתחלק באף אחד מהגורמים 2, 5, 11, ...Pn , לכן גורמיו הראשוניים הם רק מהצורה 3n+1 , אבל מכפלה של גורמים אלו נותנים שוב מספר שהוא מהצורה 3n+1 בסתירה לכך ש S1 הוא מהצורה 3n+2.

 

[עריסטו]

1:
נניח שמספר הראשניים מהצורה 3n+2 הוא סופי. ויש n מספרים כאלו 2, 5, 11, 17, 23, 29, ......Pn
נסתכל על מכפלתם zzz S = 2*5*11*17*23*29*....*Pn zzz
זה מספר זוגי מהצורה 3n+1 ( אם n זוגי ), או 3n+2 (אם n איזוגי ) .
אם S=3n+1 נגדיר S1=S+1
אחרת נגדיר S1=S+3
S1 הוא מהצורה 3n+2 ואינו מתחלק באף אחד מהגורמים 2, 5, 11, ...Pn , לכן גורמיו הראשוניים הם רק מהצורה 3n+1 , אבל מכפלה של גורמים אלו נותנים שוב מספר שהוא מהצורה 3n+1 בסתירה לכך ש S1 הוא מהצורה 3n+2.

קצת יותר פשוט (בלי לחלק לשני מקרים):
אם קיימים ראשוניים a,b,c,d מהצורה 3n+2, נסתכל על הביטוי
3abcd-1
הוא מהצורה 3n+2 ולא מתחלק ב-a,b,c,d.

 

[הפרבולה1]

קצת יותר פשוט (בלי לחלק לשני מקרים):
אם קיימים ראשוניים a,b,c,d מהצורה 3n+2, נסתכל על הביטוי
3abcd-1
הוא מהצורה 3n+2 ולא מתחלק ב-a,b,c,d.

אז לגבי שאלה 2 אפשר באופן דומה , נניח שמספר הראשוניים מהצורה 4n+3 הוא סופי ושווה ל k.
נסתכל על הביטוי
zzz S= 4*p1*p2*p3*....*pk - 1 zzz
כאשר p1...pk אלו כל הראשוניים מהצורה 4n+3
S הוא מהצורה 4n+3 ואינו מתחלק באף אחד מהראשוניים p1...pk ולכן גורמיו הראשוניים הם רק מהקבוצה 2 , 4n+1 , אבל כל מכפלה שלהם לא יכולה להיות שווה ל S .

 

[עריסטו]

אז לגבי שאלה 2 אפשר באופן דומה , נניח שמספר הראשוניים מהצורה 4n+3 הוא סופי ושווה ל k.
נסתכל על הביטוי
zzz S= 4*p1*p2*p3*....*pk - 1 zzz
כאשר p1...pk אלו כל הראשוניים מהצורה 4n+3
S הוא מהצורה 4n+3 ואינו מתחלק באף אחד מהראשוניים p1...pk ולכן גורמיו הראשוניים הם רק מהקבוצה 2 , 4n+1 , אבל כל מכפלה שלהם לא יכולה להיות שווה ל S .

נכון

 

[בחשכת הלילה]

קצת יותר פשוט (בלי לחלק לשני מקרים):
אם קיימים ראשוניים a,b,c,d מהצורה 3n+2, נסתכל על הביטוי
3abcd-1
הוא מהצורה 3n+2 ולא מתחלק ב-a,b,c,d.

a,b,c,d - התכוונת כל הראשוניים מהצורה 3k+2 (אם מספרם סופי)?

 

[עריסטו]

a,b,c,d - התכוונת כל הראשוניים מהצורה 3k+2 (אם מספרם סופי)?

לא. ההוכחה מראה שבהינתן קבוצה כלשהי של ראשוניים מהצורה הנ"ל, ניתן למצוא ראשוני נוסף מצורה זו.

 

[בחשכת הלילה]

לא. ההוכחה מראה שבהינתן קבוצה כלשהי של ראשוניים מהצורה הנ"ל, ניתן למצוא ראשוני נוסף מצורה זו.

אם כך, המספר 3abcd-1 הוא אמנם מהצורה 3k+2, ואינו מתחלק ב-a,b,c,d, אבל מדוע הוא ראשוני?
נניח שקיימים בדיוק 5 ראשוניים מהצורה 3k+2. אזי, עבור כלל 4 מהם אכן קיים לפחות חמישי, ולא הוכחנו שום דבר.
דבר אחר, אם נכפיל את כל ה-5 ניווכח שקיים לפחות שישי, מה שיסתור את ההנחה שקיימים 5 בלבד.

 

[עריסטו]

אם כך, המספר 3abcd-1 הוא אמנם מהצורה 3k+2, ואינו מתחלק ב-a,b,c,d, אבל מדוע הוא ראשוני?
נניח שקיימים בדיוק 5 ראשוניים מהצורה 3k+2. אזי, עבור כלל 4 מהם אכן קיים לפחות חמישי, ולא הוכחנו שום דבר.
דבר אחר, אם נכפיל את כל ה-5 ניווכח שקיים לפחות שישי, מה שיסתור את ההנחה שקיימים 5 בלבד.

א. לא טענתי שהוא ראשוני, אלא שיש לו גורם ראשוני מהצורה 3k+2, וגורם זה אינו אחד המספרים a,b,c,d. לא כתבתי זאת בפירוש כי זה כתוב בהוכחה של הפרבולה1 ורק הצעתי וריאציה של ההוכחה שלו.
ב. ההוכחה מראה שלכל קבוצה סופית של ראשוניים מהצורה 3k+2 קיים מספר ראשוני נוסף מצורה זו. כך ניתן להתחיל מהקבוצה {2} (או מהקבוצה הריקה) וליצור קבוצה של שני ראשוניים מהצורה 3k+2, ואז מהקבוצה החדשה ליצור קבוצה של שלושה ראשוניים וכן הלאה, וכך ליצור אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 3k+2.

 

[בחשכת הלילה]

א. לא טענתי שהוא ראשוני, אלא שיש לו גורם ראשוני מהצורה 3k+2, וגורם זה אינו אחד המספרים a,b,c,d. לא כתבתי זאת בפירוש כי זה כתוב בהוכחה של הפרבולה1 ורק הצעתי וריאציה של ההוכחה שלו.
ב. ההוכחה מראה שלכל קבוצה סופית של ראשוניים מהצורה 3k+2 קיים מספר ראשוני נוסף מצורה זו. כך ניתן להתחיל מהקבוצה {2} (או מהקבוצה הריקה) וליצור קבוצה של שני ראשוניים מהצורה 3k+2, ואז מהקבוצה החדשה ליצור קבוצה של שלושה ראשוניים וכן הלאה, וכך ליצור אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 3k+2.

למה ללכת בהדרגה, כשאפשר להכפיל מייד את כולם (להפרכת ההנחה שכמותם סופית), כפי שעשה אוקלידס? ואז הטריק שלך: כפול 3 ופחות 1.

 

[עריסטו]

למה ללכת בהדרגה, כשאפשר להכפיל מייד את כולם (להפרכת ההנחה שכמותם סופית), כפי שעשה אוקלידס? ואז הטריק שלך: כפול 3 ופחות 1.

 

[עריסטו]

אוקלידס לא כפל את כולם. הוא טען שלכל קבוצה של מספרים ראשוניים קיים מספר ראשוני נוסף והדגים זאת על ידי קבוצה של שלושה מספרים ראשוניים.
תרגום של הקטע המקורי מ"היסודות":

Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20

הוא לא מניח בשום שלב ש-A, B, C הם המספרים הראשוניים היחידים. כמובן אפשר גם להוכיח בסגנון אחר שמניח שמספר הראשוניים סופי, אבל לטעמי דווקא הסגנון הזה מסורבל יותר (הוכחה בדרך השלילה במקום הוכחה ישירה, והנחה שאין בה צורך).

 

[בחשכת הלילה]

אוקלידס לא כפל את כולם. הוא טען שלכל קבוצה של מספרים ראשוניים קיים מספר ראשוני נוסף והדגים זאת על ידי קבוצה של שלושה מספרים ראשוניים.
תרגום של הקטע המקורי מ"היסודות":

Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20

הוא לא מניח בשום שלב ש-A, B, C הם המספרים הראשוניים היחידים. כמובן אפשר גם להוכיח בסגנון אחר שמניח שמספר הראשוניים סופי, אבל לטעמי דווקא הסגנון הזה מסורבל יותר (הוכחה בדרך השלילה במקום הוכחה ישירה, והנחה שאין בה צורך).

על טעם וריח אין להתווכח