משהו לחידוד המוח...

[yossiea]

משהו לחידוד המוח...

האם זה נכון שעבור כל ראשוני p >= 5 מתקיים:

24 | p^2 - 1​

אם כן מדוע? (זה לא שיעורי בית. התשובה שמורה במערכת

)

 

[vinney]

המםם...

p^2-1 = (p-1)(p+1) p>=5 => (p-1|4 or p+1|4) and (p-1|3 or p+1|3) p-1|2 and p+1|2 => בה"כ p-1|4 and p+1|6 => (p-1)(p+1)|24​

פיספסתי משהו?

 

[vinney]

כמובן יש עוד מקרה ששכחתי

שp-1|12 וp+1|2, בה"כ. הקיצור, זה נכון

 

[yossiea]

ובכן...

הכיון שלי p-1 או p+1 מתחלק ב-8 (כי הם מתחלקים ב-2 וב-4) וכן ב-3 ולכן מתחלק ב-3*8. כן זה זהה בעיקרון. אפשר גם לומר אם מתחלק ב-2 ומתחלק ב-3 (לפחות אחד מהם) אז מתחלק גם ב-6 ואם מתחלק גם ב-4 אז מתחלק ב-4*6. נשאר רק להוכיח מדוע מתחלק ב-3 אולי זה החלק החסר (מתחלק ב-3 כי אחד משלושה מספרים עוקבים חייב להתחלק ב-3 וזה בטוח לא p) או.קיי. (אתה מנסה לרמוז שזה היה קל מדי? טוב לי זה היה קשה. מה לעשות אני מוגבל קצת

).

 

[vinney]

קל זה מושג יחסי ../images/Emo13.gif

פשוט חרשתי קצת אלגוריתמים בתורת המספרים לאחרונה, אז זה נפל לי בול בזמן

אבל זה שאלה טריקית, ברגע שפירקת את הp^2-1 לגורמים - פתרת אותה. יש לך עוד כאלה? בשביל זה שווה שיהיה פורום

 

[yossiea]

*פירקת* את השאלה מהר מדי...

לא נתת צ'נאס לאילו שלא מכירים לנסות. בכל אופן הנה עוד אחת: ידוע שכפולה של x ראשוניים לא יכולה להיות "מספר ריבועי" (בלעז אומרים: perfcet power) בכל אופן האם נכון שכפולה של x ראשוניים פלוס 1 יכולה להיות מספר ריבועי או בניסוח אחר:

s(x) = p1 * p2 * ... * px​

האם:

s(x)+ 1​

יכול להיות מספר ריבועי? הוכח.

 

[vinney]

טוב, אני אשתוק ../images/Emo6.gif

 

[ron369]

אבל ברור שזה נכון!

s(x) = 3 s(x) + 1 = 4 = 2*2 ובכלל, בדוגמא שלך לכפולה של x ראשוניים, שכחת גם שהם צריכים להיות *שונים*. כי אחרת אפילו: 2*2 (מכפלה של ראשוניים Z) = 4 = 2*2 (ריבוע) או יותר נכון, שלפחות אחד יהיה שונה. ועכשיו, דוגמא נגדית נחמדה יותר: לכל זוג מספרים ראשוניים עוקבים (p, p+2) מתקיים ש: p*(p+2) = p^2+2p => p*(p+2) + 1 = p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2 למשל, 9*11=99 => 100 = 9*11 + 1 = עשר בריבוע אני חושב שזה די נחמד

 

[yossiea]

אני מופתע. הבנתי אחרת לגמרי.

קודם כל נכון מדובר על "x המספרים הראשוניים הראשונים" (לא זהים). שנית לגבי התשובה, הבנתי בדיוק ההיפך ותיכף אני מסביר. (ויני תקן אותי אם אני טועה): אם s(x)+1 הוא מספר ריבועי אזי יש מספר p (השורש) שמקיים: s(x) = p * p - 1 = (p + 1)*(p-1) נכון? והרי אמרנו ש-s(x) הוא כפולה של x מספרים ראשוניים שונים. (רק אחד מהם הוא 2) לפי מה שקבלנו יוצא שהגורמים של s(x) או ששניהם זוגיים או אי-זוגיים. מזה ייצא ש-s(x) יכול להיות או מספר אי-זוגי או מספר שמתחלק ב-4. האם זה יכול להיות? נראה שיש סתירה.

 

[vinney]

מה זאת אומרת?

קצת לא ברורה ההגדרה שלך... נגיד שx=2, וs(x)=7*5, זה עונה על ההגדרה שלך, כי S של X זאת כפולה של X ראשוניים, ועדיין, s(x)+1=35+1=36=6^2. מה לא בסדר?

 

[vinney]

וכמובן

שזה מתאים לחלוטין להגדרה שלך - p=6, p+1=7, p-1=5 s(x)=7*5=(P-1)*(P+1)z. ושניהם אי זוגיים.

 

[yossiea]

הייתה לי טעות...

בהבנת הנקרא או בניסוח. אבל בשאלה נאמר במפורש: X הראשוניים "הראשונים" אם X=2 אזי הם 2,3 לכן 5,7 אמנם עונים על התנאי אבל אינם 2 הראשוניים הראשונים. הנה השאלה שוב למען הסר ספק: יהי S(x)=p_1,p_2,p_3,...,p_x שהם x המספרים הראשוניים הראשונים. האם S(x)+1 יכול להיות מספר ריבועי? (אנחנו יודעים ש-S(x) לא יכול להיות כזה). הוכח.

 

[vinney]

אבל יוסי

S(X)+1 יהיה ראשוני, אז, מה הטעם לשאול?

 

[גיל14]

לא ראשוני

פשוט לא מתחלק בכל האלה לפניו.

 

[vinney]

רגע רגע

יש מספר שלא מתחלק באף אחד מהראשוניים לפניו. זאת לא בדיוק הגדרת מספר ראשוני? הרי אם היה מתחלק במספר כלשהו פרט לעצמו ו1, הוא וודאי היה גם מתחלק בגורמים הראשוניים של אותו מספר כלשהו, שהם בהכרח קטנים ממנו, לכן גם וודאי היה מתחלק בלפחות ראשוני אחד קטן ממנו, אבל מכפלת ראשוניים+1 מבטיחה שאין כזה...

 

[גיל14]

לא לא

ב"לפניו" התכוונתי ברשימת הראשוניים שיש שם: P1P2P3... זה לא אומר שלא קיים ראשוני max{Pi} < P < P1P2P3P4...Pn+1 המחלק את P1P2P3...Pn+1

 

[vinney]

לא הבנתי כלום ממה שכתבת ../images/Emo6.gif

 

[גיל14]

והרי דוגמה

Here: 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59*509​

 

[vinney]

וואלה, צודק ../images/Emo13.gif

 

[yossiea]

מסכים איתך...

כפי הנראה השאלה הזו לא טובה במיוחד

ואולי זו הייתה הכוונה לגרום לך להתאמץ להוכיח שמספר ראשוני אינו מספר ריבועי

(לא שמתי לב ש-(S(x יוצא ראשוני לפי ההגדרה) אז כל העניין הופך מגוחך משהו. אהמממ... אפשר להפוך את זה לשאלה אחרת (שאלה קלה למתחילים) הוכח ש-S(x)+1 ראשוני.