נקודות עם קואורדינטות שלמות
- פותח הנושא עריסטו
- פורסם בתאריך
אלמוני היחידה
New member
../images/Emo35.gifשאלה
אולי התכוונת לקיים ריבוע שאורך הצלעות שלו הן n? כי אם לא אני פשוט בוחר (בהגזמה) שהצלע n^3 כנ"ל למעגל.
אולי התכוונת לקיים ריבוע שאורך הצלעות שלו הן n? כי אם לא אני פשוט בוחר (בהגזמה) שהצלע n^3 כנ"ל למעגל.
אלמוני היחידה
New member
../images/Emo4.gif
Gaius Octavius
New member
לא מסכים -
מעגל יכול גם להכיל מספר אי-זוגי אם נקודת האמצע שלו שלמה. העניין הוא שאז הוא יכול, לדעתי, להכיל רק בקפיצות של 4: 1, 5, 9 וכו', מאחר ואם נקודת האמצע שלו שלמה, אז הוא בעצם "כלוא" בריבוע בעל 8 נקודות שלמות על צלעותיו - כדי להכיל אחת מהן (המרכזיות שבצלעות), על המעגל להכיל גם אחרות. וכך גם הלאה.
מעגל יכול גם להכיל מספר אי-זוגי אם נקודת האמצע שלו שלמה. העניין הוא שאז הוא יכול, לדעתי, להכיל רק בקפיצות של 4: 1, 5, 9 וכו', מאחר ואם נקודת האמצע שלו שלמה, אז הוא בעצם "כלוא" בריבוע בעל 8 נקודות שלמות על צלעותיו - כדי להכיל אחת מהן (המרכזיות שבצלעות), על המעגל להכיל גם אחרות. וכך גם הלאה.
תשובה ל- ב'
נכון: יהיו a,b שני מספרים ממשיים שהם בלתי תלויים אלגברית מעל הרציונליים: כלומר, לא קים פולינום בשני משתנים, אשר אינו זהותית 0, אשר הצבת הזוג a,b בו נותנת 0. נתבונן במעגל שמרכזו הנקודה ששיעוריה a,b ורדיוסו R: ככל שנגדיל את R מספר הנקודות בתוך המעגל יגדל, אולם בכל פעם שהמספר גדל הוא גדל ב- 1, כי לא ייתכן שעבור R נתון תהיינה שתי נקודות על שפת המעגל: הרי אם יש שתי נקודות x,y ו- x',y' zz שהן בעלות שיעורים שלמים ומרחקן מהמרכז הוא R, אז
נכון: יהיו a,b שני מספרים ממשיים שהם בלתי תלויים אלגברית מעל הרציונליים: כלומר, לא קים פולינום בשני משתנים, אשר אינו זהותית 0, אשר הצבת הזוג a,b בו נותנת 0. נתבונן במעגל שמרכזו הנקודה ששיעוריה a,b ורדיוסו R: ככל שנגדיל את R מספר הנקודות בתוך המעגל יגדל, אולם בכל פעם שהמספר גדל הוא גדל ב- 1, כי לא ייתכן שעבור R נתון תהיינה שתי נקודות על שפת המעגל: הרי אם יש שתי נקודות x,y ו- x',y' zz שהן בעלות שיעורים שלמים ומרחקן מהמרכז הוא R, אז
(x-a)^2+(y-b)^2=(x'-a)^2+(y'-b)^2
וקיבלנו תלות אלגברית בין a,b. מכיוון שמספר הנקודות בתוך המעגל קופץ בכל פעם ב- 1, מתקבלים כל הערכים השלמים.תשובה ל- א'
גם כאן התשובה היא חיובית. (בהמשך נקצר: נקודה שלמה = נקודה בעלת שיעורים שלמים) בהמשך לפתרון על המעגל, נתאר תהליך דומה שבו אנחנו "מנפחים ריבוע" עם קודקוד אחד קבוע A שאינו נקודה שלמה. כמו כן, נבחר את השיפוע שבו נוטה הריבוע כך שהשיפוע לא יהיה מספר רציונלי (ולכן, בכל ניפוח של הריבוע לא יהיו שתי נקודות שלמות על אותה הצלע), וכך שעל שתי הצלעות שיוצאות מ- A לעולם לא יהיו נקודות שלמות (גם את זה אין בעיה לעשות כי פסלנו רק מספר בן מניה של שיפועים). כעת, בכל שלב ננפח עד שניתקל בנקודה על השפה. על פי האמור לעיל, יש שתי אפשרויות: א) נוספה רק נקודה אחת חדשה- והכל תקין. ב) נוספו שתי נקודות חדשות על השפה- אחת על כל צלע שאינה יוצאת מ- A. במקרה זה נסובב את הריבוע מעט קט, כאשר מרכז הסיבוב הוא בנקודה A. בצורה כזו נקודה אחת מהחדשות תיכנס אל פנים הריבוע, והשניה תצא מהריבוע. וכאשר זוית הסיבוב קטנה מספיק, הדבר לא יגרום ליציאה של נקודות קימות או כניסה של נקודות חדשות. כמו כן, נדאג שהשיפוע החדש שבו נמצא הריבוע עדיין מקיים את התנאים המקוריים. כעת, אפשר להמשיך בתהליך. מש"ל.
גם כאן התשובה היא חיובית. (בהמשך נקצר: נקודה שלמה = נקודה בעלת שיעורים שלמים) בהמשך לפתרון על המעגל, נתאר תהליך דומה שבו אנחנו "מנפחים ריבוע" עם קודקוד אחד קבוע A שאינו נקודה שלמה. כמו כן, נבחר את השיפוע שבו נוטה הריבוע כך שהשיפוע לא יהיה מספר רציונלי (ולכן, בכל ניפוח של הריבוע לא יהיו שתי נקודות שלמות על אותה הצלע), וכך שעל שתי הצלעות שיוצאות מ- A לעולם לא יהיו נקודות שלמות (גם את זה אין בעיה לעשות כי פסלנו רק מספר בן מניה של שיפועים). כעת, בכל שלב ננפח עד שניתקל בנקודה על השפה. על פי האמור לעיל, יש שתי אפשרויות: א) נוספה רק נקודה אחת חדשה- והכל תקין. ב) נוספו שתי נקודות חדשות על השפה- אחת על כל צלע שאינה יוצאת מ- A. במקרה זה נסובב את הריבוע מעט קט, כאשר מרכז הסיבוב הוא בנקודה A. בצורה כזו נקודה אחת מהחדשות תיכנס אל פנים הריבוע, והשניה תצא מהריבוע. וכאשר זוית הסיבוב קטנה מספיק, הדבר לא יגרום ליציאה של נקודות קימות או כניסה של נקודות חדשות. כמו כן, נדאג שהשיפוע החדש שבו נמצא הריבוע עדיין מקיים את התנאים המקוריים. כעת, אפשר להמשיך בתהליך. מש"ל.
אלגוריתם
את הפתרון שנתתי אפשר לתרגם לאלגוריתם. (בכל שלב, מס' הנקודות בסביבה של הריבוע סופי ולכן אפשר למצוא מהי הנקודה הראשונה שתיכנס לניפוח של הריבוע). זה ברור שצורת הנקודות שואפת לריבוע (אם תיקח למשל ריבוע בגודל 1000X1000, תצייר את כל הנקודות בתוכו ותקטין מחדש לגודל 1X1, תקבל כמליון נקודות המתארות ריבוע 1X1 ברזולוציה גבוהה מאד).
את הפתרון שנתתי אפשר לתרגם לאלגוריתם. (בכל שלב, מס' הנקודות בסביבה של הריבוע סופי ולכן אפשר למצוא מהי הנקודה הראשונה שתיכנס לניפוח של הריבוע). זה ברור שצורת הנקודות שואפת לריבוע (אם תיקח למשל ריבוע בגודל 1000X1000, תצייר את כל הנקודות בתוכו ותקטין מחדש לגודל 1X1, תקבל כמליון נקודות המתארות ריבוע 1X1 ברזולוציה גבוהה מאד).
עריסטו
Active member
חשבתי על הכללה ../images/Emo26.gif
נכון או לא: לכל n טבעי ולכל צורה דו-ממדית S (ששטחה גדול מאפס), קיימת צורה הדומה ל-S והמכילה בדיוק n נקודות בעלות קואורדינטות שלמות. לכל n טבעי ולכל צורה דו-ממדית S (ששטחה גדול מאפס), קיימת צורה הדומה ל-S המכילה בדיוק n נקודות בעלות קואורדינטות שלמות, וששטחה הוא n. אני לא יודע מה הפתרון...
נכון או לא: לכל n טבעי ולכל צורה דו-ממדית S (ששטחה גדול מאפס), קיימת צורה הדומה ל-S והמכילה בדיוק n נקודות בעלות קואורדינטות שלמות. לכל n טבעי ולכל צורה דו-ממדית S (ששטחה גדול מאפס), קיימת צורה הדומה ל-S המכילה בדיוק n נקודות בעלות קואורדינטות שלמות, וששטחה הוא n. אני לא יודע מה הפתרון...
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.