על מה נשענת המתמטיקה?

[עינב1כ]

על מה נשענת המתמטיקה?

שלום רב. אציג את עצמי, שמי עינב ואני מאוד מאוד מאוד אוהבת מתמטיקה ת´אמת אני רוצה לגשת ל5 במתמטיקה בכיתה י´. אני נהנית לקרוא מאוד על מתמטיקה, ולפתור תרגילים. קיבלתי במסרים מסר שהפורום הזה נפתח, וקראתי את כל ההודעות, אכן פורום נהדר. אשמח לתשובות לשאלה מהם האקסיומות שעל פיהם בנויה המתמטיקה. אני יודעת שמתמטיקה נחלקת להמון ענפים אלגברה , והנדסה, וסטטיסטיקה והסתברות, וחדו"א, ועוד המון ואלו לתתי ענפים אלגברה לינארית, וקומבינטוריקה, וטריגו, וגיאומטריה אוקלידית ואי-אוקלידית, וטופולוגיה ועוד מלא מלא ענפים שמתפצלים לעוד ועוד.. בבסיס יש את תורת הקבוצות עד כמה שאני יודעת. (זהו קורס ראשוני בד"כ בפקולטות, כך כתוב באתרי האונ´) יש משהו שמחזיק את כל המתמטיקה? אני יודעת שזה קשור איכשהו למשפט אי-השלמות של קורט גדל, שעל פיו תיתכן סתירה במערכות לוגיות. רון, מישהו אנא הסבירו לי, האם יתכן שהמתמטיקה שלנו בכלל לא נכונה? אבל היא עובדת איכשהו. אנא כתבו לי את המשפטים הראשוניים שמהם התחילו לבנות הכל. האם אלו האקסיומות ש: כל מספר כפול 1 שווה לאותו מספר כל מספר כפול 0 שווה ל0 ושאסור לחלק באפס.. וכו´. אם כבר הגענו לחילוק באפס, יש הוכחה מדוע אסור לחלק באפס? הוכחה מתמטית? ויש לי שאלה שראיתי בספרים, משהו שמשגע מתמטיקאים מדוע 0 חלקי 0 שווה ללא מוגדר הרי 0 חלקי 0 צריך להיות שווה לאפס כי אפס כפול אפס שווה לאפס.. אכן בעיה פילוסופית אשמח להסברים. תודה רבה רבה רבה עינב

 

[Halfbaked]

תודה על הברכות!

שאלת כמה שאלות, ואנסה לענות עליהן עד כמה שאוכל. אתחיל בהודעה זו, ואמשיך באחרות, על מנת להמנע מאריכות יתר. באופן לוגי, ענפי המתמטיקה כולם מבוססים על תורת הקבוצות, כפי שציינת. תורה זו היא אוסף של אקסיומות בשפה פשוטה מסדר ראשון, שכל משפט בכל תחום במתמטיקה נובע מהן (כמעט). אך בהסטוריה הדברים נוצרו באופן הפוך. למעשה לא הוכיחו את המשפטים לראשונה מן האקסיומות, אלא בנו את מערכת האקסיומות כדי שיהיה בסיס אלגנטי ועקבי ממנו ניתן להוכיח את המשפטים הקיימים. המפנה נוצר למעשה באמצע המאה ה-19. עד אז, היתה המתמטיקה קיימת ברובה ככלי לשירות המדעים, ובראשם הפיסיקה. הבעיות ה"חמות" היו הכללות של בעיות מעשיות (כמו למשל מציאת סכומי טורים אינסופיים, שתסייע בחישוב המרחקים שארנבים מסויימים עוברים). אבל אז החלו לצוץ בעיות תפיסה בסיסיות במתמטיקה עצמה. המתמטיקאים החלו לתהות מהו אותו "אינסוף" בו הם משתמשים כל הזמן, והאם השימוש בו אינו יוצר בעיות. יחד עם זאת הלך וגבר השימוש במושג הקבוצה - תחומים רבים במתמטיקה הגדירו קבוצות של מספרים, פונקציות, או דברים אחרים, והשתמשו במושגים ופעולות מעולם הקבוצות (איחוד, חיתוך, מכפלה קרטזית, ועוד) כדי לפשט את ניסוח הטיעונים. ב-1874 גיאורג קנטור פרסם מאמר בו הוא מדבר על קבוצות אינסופיות. הוא שם לב לכך שקיימים שני סוגים של אינסוף: קבוצת המספרים הטבעיים היא בת-מניה, כלומר ניתנת לספירה, בעוד שקבוצת המספרים הממשיים אינה ניתנת לספירה - אם תסמנו כל שניה מספר ממשי אחר, יהיו מספרים רבים אליהם לא תגיעו לעולם. מאמר זה פתח את הדרך לחקר תורה חדשה, על טהרת המתמטיקה, היא תורת הקבוצות. שאר תחומי המתמטיקה קיבלו בברכה תחום זה, שכן הוא נתן להם כלים מועילים להגדרה ולניסוח. התחומים השונים מיהרו לבסס את עצמם על הגדרות מעולם הקבוצות, והעתיד נראה ורוד. אולם תורת הקבוצות עצמה לא היתה מבוססת דיה, וסדקים די מטרידים החלו להתגלות פה ושם. ב-1901 גילה ברטראנד ראסל סתירה (מצלצלת) במחשבה הקיימת (הידועה בשם "הפראדוקס של ראסל") שאיימה למוטט את כל המתמטיקה, שעד אז כבר נשענה ברובה על תורת הקבוצות. כמה מוחות חזקים נרתמו למשימה, ועד סוף העשור פרסם ארנסט צרמלו רשימה של אקסיומות לתורת הקבוצות, המאפשרות את קיומן של כל התכונות החשובות והשימושיות של הקבוצות, תוך המנעות זהירה מקיומו של פראדוקס ראסל. בשנות העשרים שיפר אברהם פרנקל את הרשימה, ופרסם את אקסיומות "ZFC", המקובלות עד היום כבסיסה של תורת הקבוצות, ושל המתמטיקה בכלל. עם השנים נוסחו מספר אקסיומטיזציות חלופיות לתורת הקבוצות, אך ZFC נשארה האקסיומטיזציה הנפוצה ביותר בשימוש. המשך יבוא, יובל.

 

[גרי רשף]

מדוע 0/0 אינו מוגדר?../images/Emo22.gif

מצד אחד זה צריך להיות 1 כי מספר חלקי עצמו זה 1, מצד שני זה צריך להיות 0 כי 0 חלקי כל מספר נותן 0, ומצד שלישי זה לא מוגדר כי מספר חלקי 0 אינו מוגדר.. מכיוון שאני כלכלן במקצועי, אתן לך דוגמה קטנה מדוע 0 חלקי 0 אינו מוגדר.. נניח שקנית 3 זוגות מכנסיים במחיר 600 ש"ח. כמה עולה כל זוג? נכון: 600/3=200 (מאתיים ש"ח). עכשיו, נניח שלא קנית מכנסיים בכלל (0) ולא שילמת כלום (0), כמה אז עולה כל זוג? אה..אה..לא רואים שהשאלה לא רצינית וחסרת משמעות?

 

[נבותבן]

גרי - תראה

אולי השאלה לא רצינית כמו שאת הואמר, אבל תסכים איתי שזה גם לא רציני לפרסם כאן חידה ועד היום לא לספר לנו מה התשובה עליה (עם חואן !) נבות שמת לדעת מה התשובה

 

[גרי רשף]

אתה צודק!../images/Emo22.gif

התשובות שהופיעו שם היו נכונות באופן כללי ולמיטב זכרוני מבחינת הדרך וסדר גודל הפתרון (יופיה של החידה הוא בהיטפלות למילות השיר ולא במורכבות שלה). ניסיתי באותו יום (יום חמישי בצהריים) לכתוב זאת אך בשל בעיות טכניות של תפוז ההודעה לא נקלטה גם לאחר עשרה נסיונות. לא נותר לי אלא להתנצל בפני אלו שטרחו ולא זכו לתגובה ראויה ולהודות להם!

 

[twigy]

בקשר לשאלת המכנסיים..

כשאתה מנסה לחלק 0 כסף ל-0 מוצרים אתה עדיין נשאר עם 0 כסף מכאן שחלוקה באפס צריכה להחזיר אפס לא ?

 

[twigy]

ומצד שני אפשר להגיד

(זה לגבי חילוק של מספר ממשי לאפס) שיש לי נאמר 200 שקל אבל אין לי למי לחלק אותם ולכן נשאר לי הסכום ההתחלתי 200 ש"ח. (כמובן שאני טועה - גדולים ממני הבינו שאי אפשר לחלק באפס..אבל בכל זאת..)

 

[גרי רשף]

לא זו המשמעות../images/Emo22.gif

בשאלת חילוק, התשובה היא כמה כל אחד קיבל ולא כמה נשאר לך. אנחנו מניחים שלא נשאר לך כלום כי חילקת הכל. היו לך 600 ש"ח וחילקת אותם שווה בשווה בין שלושה אנשים? כל אחד קיבל 200 ש"ח (ולך לא נשאר כלום). היו לך 600 ש"ח וחילקת אותם שווה בשווה בין אפס אנשים? כמה אז "כל אחד" מֶהַ-"אין אנשים" קיבל?.. ברור שאין לכך משמעות ופתרון..

 

[Halfbaked]

0/0

קודם כל, האיסור לחלק באפס אינו משפט שיש להוכיח. אין אפשרות לחלק באפס כי אף אחד לא הגדיר מה תהיה התוצאה. ההתנסחות "0/0 שווה ללא מוגדר" מעט מטעה בכך שהיא רומזת על קיומו של ערך בשם "לא מוגדר". פעולת החילוק של מספרים רציונלים הינה התאמה של מספר רציונלי (התוצאה) לכל זוג מספרים רציונלים (המחולק והמחלק). כמעט לכל זוג. אם המחלק הוא 0, הפעולה פשוט אינה מוגדרת, כלומר אינה מתאימה אף תוצאה לזוג המספרים, ממש כמו שפונקצית הלוגריתם אינה מתאימה אף תוצאה למספר שאינו חיובי. אם את ממש רוצה להרחיב את ההגדרה של פעולת החילוק, ולהגדיר 0/0 כ-0, את יכולה. במתמטיקה זה נורא פשוט, כל מה שצריך לכתוב זה: "הגדרה: ערכו של הביטוי 0/0 הינו 0" וזהו. אבל: קבוצת המספרים הרציונלים מהווה שדה, כלומר יש לה מספר תכונות בסיסיות שהופכות אותה לקבוצה מעניינת ובעלת תכונות מורכבות רבות, הנשענות על אותן תכונות בסיסיות. למשל, אחת מן התכונות הבסיסיות היא שעבור מספרים רציונלים a ו-b, אם המספרים a/b ו-b/a קיימים, אז מכפלתם היא 1. אם נקבל את ההגדרה המובאת לעיל, אז נראה שעבור a=b=0 התכונה אינה מתקיימת, מכיוון שמכפלת a/b ו-b/a כאן היא 0. כלומר, התכונה הפשוטה הזו אינה נכונה לגבי קבוצת המספרים הרציונלים תחת פעולת החילוק המורחבת, וממילא גם כל התכונות המורכבות הנשענות על תכונה זו אינן נכונות יותר. אז מה עשינו בעצם? הרחבנו את פעולת החילוק והגדרנו את 0/0, אך המבנה החדש שיצרנו פחות מעניין, ואין בו את כל היופי והמורכבות שבמבנה המספרים הרציונלים ה"רגיל". אז תשתדלו לא לחלק באפס, כדי שהעולם לא יהיה פחות מעניין. יובל.

 

[Blade2]

לגבי חלוקה ב 0

(אני לא מדבר על אפס חלקי אפס, אלא על כל מספר ממשי אחר חלקי אפס) לחלוקה ב 0 יש תוצאה - אינסוף. זה גם מתיישב עם הרבה מאוד דברים: קחי קו ישר, כה נקודות יש בו? = אורך הקו חלקי אפס, שווה אינסוף לגבי 0/0 אני לא בטוח.

 

[zooti]

תלוי איזה 0

אתה מדבר על קירובים במספרים ממשיים (עובד גם במספרים מרוכבים). בהמשך דברי - אפס = מספר השואף לאפס. אינסוף = מספר השואף לאינסוף. חלוקה של מספר סופי במספר באפס היא אינסוף. חלוקה של מספר סופי באינסוף היא אפס. חלוקה של אפס באינסוף היא אפס. חלוקה של אינסוף באפס היא אינסוף. חלוקה של אפס באפס, שקולה לחלוקת אינסוף באינסוף. היא בלתי מוגדרת. למשל, כך את פונקציית האספוננט, וחלק אותה בפולינום, כשהמשתנה אינסופי. אספוננט יותר "חזק" מפולינום, כלומר, שואף לאינסוף יותר מהר מהפולינום, ולכן החלוקה תהיה אינסוף, למרות שגם פונקצית האקספוננט, וגם פונקצית הפולינום הן אינסוף (חלוקה של אינסוף באינסוף). אבל אם תחליף בין הפונקציות, תקבל 1 חלקי אינסוף, כלומר אפס. לכן אינסוף/אינסוף יכול לתת אינסוף/אפס/מספר סופי, תלוי בסוגי האינסוף שבהם מדובר. כנ"ל לגבי אפס/אפס. וזאת הסיבה שגם בקירובים 0/0 אינו מוגדר. 0/0 יכול לתת תוצאה אחרת תלויית נסיבות.

 

[zooti]

סליחה. לא שמתי לב שדיברת על

מספר סופי חלקי אפס.

 

[culuture]

אם כבר אז יש אקסיומה שאני לא מבין

זה נדמה לי של משפט החפיפה הראשון שזה זוית צלע זוית אם אני לא טועה אין לזה הוכחה?

 

[פייד-ראותא]

אני לא מבין למה המשפט חפיפה של-

זוית צלע זוית לא מובן לך. הוא ברור מבחינת הגיון ואף יש לו הוכחה. פייד!

 

[גרי רשף]

אין לזה הוכחה../images/Emo22.gif

משפטי החפיפה הם אקסיומות, ומכאן שאין להם הוכחה אלא מוכיחים על פיהם. כיצד נדע שהם נכונים? אפשר לומר שזה ברור ולא מוטל בספק (מה שהוא די נכון לגבי צז"צ), ואפשר לומר שזו הנחה ושכל הגיאומטריה היא היפוטתית (=לכאורה) ושאם נשנה את הנחות היסוד נקבל גאומטריה אחרת.

 

[Houndour]

ישנם חמישה משפטי חפיפה בסיסיים.

את הראשון אכן מקובל להגדיר כאקסיומה אך כל השאר ניתנים להוכחה. אמנם ההוכחות הן מורכבות בותר אך אפשריות. לכן מקבלים אותם כאקסיומות. באשר למשפט חפיפה צלע זוית זוית- אפשר להוכיחו בקלות על ידי המשפט זוית צלע זוית

 

[גרי רשף]

האמנם?../images/Emo22.gif

אינני אלא חובב מתימטיקה, אבל אני חושש שאתה טועה.. האם אתה בטוח שניתן להוכיח את משפטי החפיפה זה על פי זה? אשמח לראות דוגמה. אין משפט חפיפה צז"ז מכיוון שזה בעצם זצ"ז (לפי סכום זויות במשולש). משפטי החפיפה למיטב זכרוני הם: צצ"צ זצ"ז צז"צ צצ"ז (כאשר הצלע מול הזוית היא הגדולה במשולש)

 

[Houndour]

את החמישי אתה לא מכיר אוליי מכיוון

שזה כל כך קל להוכיח על סמך השני כך שלא צריך לראותו כמשפט בפני עצמו. אך ברגע שאתה מקבל את צז"צ כאקסיומה, כל שאר המשפטים ניתנים להוכחה. לא אוכל להביא אותה במסגרת הפורום הזה מפאת הסיבוך. אשמח אם מישהו יוכל.

 

[yontanbn]

משפטי חפיפה

ראשית, שלום לפורום! אני שמח מאוד על יצירתו ומבטיח להיות חבר נאמן בו. יש לי השכלה של (כמעט) תואר ראשון כעת, אתה אומר שאת הראשון "מקובל" להגדיר כאקסיומה. אני יודע שכך זה בתיכון, אך אני לא זוכר אם אוקלידס הגדיר אותו כאקסיומה או לא... מישהו יודע? ואת ההוכחה של כל שאר משפטי החפיפה בהסתמך על הראשון עושים כבר בתיכון.

 

[גרי רשף]

הבה נדייק../images/Emo22.gif

הניסוח המדוייק הוא שאם נחלק מספר (שאינו אפס) ב-X השואף לאפס, התוצאה תשאף לאינסוף. כלומר: נחלק 5 ב-1, ואחר כך ב-0.1 ואחר כך ב...0.0000000000001 וכך הלאה, התוצאה תגדל ותגדל ללא סוף ככל שהמכנה יתקרב לאפס; אבל אם המכנה יהיה אפס- אין משמעות. זו המשמעות של ה-lim המפורסם. אגב- גם למספר ´אינסוף´ אין משמעות. כשמו כן הוא- מספר לא סופי ולכן לא מוגדר..