על מה נשענת המתמטיקה?

[עינב1כ]

תודה רבה לכולם על ההסברים.

נהניתי לקרוא, לא הבנתי הכל.. אך אבין. (מקווה..) תודה עינב

 

[Halfbaked]

קצת סדר

אין מספר ממשי בשם אינסוף, זה נכון, אך אין להסיק מכך שלא ניתן להגדיר מספרים אינסופיים. כמו שכבר הזכרתי, במתמטיקה אפשר להגדיר כל מה שרוצים, כל עוד מערכת ההגדרות שאיתה עובדים אינה מכילה סתירות פנימיות (אחרת זה פשוט לא מעניין). ואכן, ישנם ענפים במתמטיקה העובדים עם מספרים אינסופיים. דוגמאות: 1. בתורת המידה נוח לעבוד עם קבוצה (נקרא לה S) המכילה כל מספר ממשי אי-שלילי, וגם אינסוף (ערך הגדול מכל הערכים האחרים, ה"סופיים"). הפעולות המוגדרות על המספרים הממשיים אף מורחבות באופן חלקי לאיבר האינסופי החדש, באופן הבא: a + אינסוף = אינסוף (לכל a בקבוצה S) a כפול אינסוף = אינסוף (לכל a בקבוצה S, פרט ל-0) 0 כפול אינסוף = 0 וניתן לבדוק שתחת הגדרות אלה נשמרות רוב התכונות הבסיסיות של החיבור והכפל של מספרים ממשיים אי-שליליים, ודבר זה מקל על ניסוחי המשפטים בתורת המידה. 2. בתורת הקבוצות עיקר המחקר עוסק בקבוצות אינסופיות ובמספרים אינסופיים. המספרים הסודרים (ordinals) הם מספרים המציינים טיפוסי סדר טוב. הם מתחילים עם המספרים הטבעיים (המציינים טיפוסי הסדר הסופיים), וממשיכים עם הסודר האינסופי הראשון, המציין את טיפוס הסדר של קבוצת הטבעיים (סודר זה מסומן באות אומגה קטנה, הדומה ל-w). הסודרים הבאים הם אומגה+1, אומגה+2, ... ואז אומגה+אומגה, אומגה+אומגה+1, וכך הלאה עד...אינסוף. חלק מהמספרים הסודרים נקראים גם מספרים מונים (cardinals). מספרים אלה מציינים גדלים שונים של קבוצות. כל סודר סופי הוא גם מונה, המציין את הגודל המתאים (למשל, 457 הוא המונה המציין גודל של קבוצות בנות 457 איברים). אומגה גם הוא מונה, המציין את גודלן של הקבוצות הסופיות בנות המנייה. מסתבר שאפילו מספר הגדלים האינסופיים השונים של קבוצות הוא אינסופי. כלומר, ישנם אינסוף גדלים שונים של אינסוף! מעניין הדבר שגם על המספרים הסודרים וגם על המונים מוגדרות פעולות חיבור, כפל וחזקה בצורה מאד טבעית. על המספרים הסודרים מוגדרת אף פעולת חילוק עם שארית באופן המזכיר את החילוק המוגדר על קבוצת המספרים הטבעיים. יובל.

 

[גרי רשף]

כללית אני מסכים../images/Emo22.gif

מדובר בדקויות של הגדרה ושל ניסוח.. אלו שאינם מבינים כל כך מתימטיקה עלולים לחשוב שאינסוף זה מספר מאוד גדול, אבל זה אינו מספר.

 

[Halfbaked]

מהי ההגדרה של "מספר"?

איני חושב שקיימת הגדרה יחידה כזו, המוסכמת בין כל התחומים. בדרך כלל המונח "מספר" מוגדר אד-הוק, בהתאם לתחום בו עוסקים. בתורת המספרים, למשל, "מספר" הוא מספר טבעי. בחשבון דיפרנציאלי "מספר" הוא מספר ממשי. בתורת הקבוצות הסודרים לעתים קרובות נקראים מספרים, וכפי שכבר ציינתי רובם אינסופיים. בקיצור, אם יש ספק, תמיד כדאי להגדיר בדיוק למה מתכוונים כאשר משתמשים במונח "מספר", שאינו מונח עם הגדרה מוסכמת וקבועה, בניגוד למונחים "מספר ממשי", "מספר רציונלי", "מספר סודר", שהגדרתם "חקוקה באבן". יובל.

 

[yontanbn]

הערת אגב על כמות האינסופים

אז כן, זה מגניב שכמות האינסופים היא אינסופית... ואז אתה חושב לעצמך, רגע, איזה אינסוף מייצג את כמות האינסופים שיש? חשבת על זה פעם? ובכן, תשובה אפשרית שחשבתי עליה היא שמכיוון שהסימון אלף_אינדקס מוגדר עבור אינדקסים שהם סודרים, והוכח שמספר הסודרים גדול מדי בכדי להיקרא קבוצה (פורמלית, יש פרדוקסים שנובעים מכך שקיימת קבוצת כל הסודרים), אז גם מספר הקרדינלים (ה"אינסופים") הוא אינסוף שלא ניתן לייצוג. הבעיה שלי עם ההוכחה הזאת, היא שהגדירו את האלפים ככה, וזה טוב ויפה, אבל מי אמר שכל האלפים "תפוסים"? אולי אין קבוצה שהיא אלף_אומגה? כלומר, ברור שאלף_0, אלף_1 וכו´ קיימים מדרך הגדרתם, אבל אלף_אומגה כבר יש לו תכונה מיוחדת. והכי מגניב, (זה לגמרי לדעתי, לא קראתי מאמרים בנושא), קרוב לוודאי שהיות האלפים המדוברים קיימים או לא הוא בכלל תלוי מודל (כמו השערת הרצף) ואז הכל נחמד ויפה

 

[Halfbaked]

אז ככה

כל האלפים קיימים בכל מודל של תורת הקבוצות, פשוט כי כל אלף הוא בעצמו קבוצה! סדרת האלפים היא סדרת קבוצות המוגדרת באינדוקציה, וכולם ביחד מהווים מחלקה, אך לא קבוצה (כפי שציינת, קבוצת כל האלפים אינה קיימת). למשל, אלף_אומגה הינו האיחוד של אלף_n לכל n טבעי - והרי כל מודל של תורת הקבוצות סגור תחת איחוד. אם יהיה ביקוש, אנסה לפרט עוד בהמשך. ברוך הבא לפורום! יובל.

 

[yontanbn]

נחמד (תודה) + עוד שאלה

תודה על התשובה אז אכן מספר האינסופים הוא אינסוף שלא ניתן להבעה... תודה על ההסבר. לא חשבתי על הסגירות לאיחוד. כלומר, היה לי ברור שזה סגור לאיחוד אבל איכשהו נראה לי שלא תמיד תהיה קבוצה שתקיים את זה, אבל האלף עצמו הוא "נציג" שמקיים את זה... אגב, אם כבר אני בשוונג של תורת הקבוצות וייצוג עוצמות... ראיתי שהגישה של האוניברסיטה הפתוחה (לפחות בספרי היסוד שלהם) היא לייצג עוצמה ע"י מחלקות שקילות. כלומר העוצמה 3 היא לא הסודר 3 כמו "אצלנו" אלא מחלקת כל הקבוצות בעולם (הרבה קבוצות כאלה ), שעוצמתן 3 כלומר ששוות עוצמה ל {כסא, שולחן, עוגת_גבינה} רציתי לדעת האם זו גישה תקנית?

 

[yontanbn]

יש גישה לא פורמלית בנושא...

אני לא יודע אם זה מקובל, אבל בצורה לא פורמלית, כשמתעסקים בחשבון אינפי, אפשר להסתכל על כל המספרים, בתוספת אינסוף ומינוס אינסוף (כמו מה שנאמר לגבי תורת המידה), אבל יש כמה פעולות לא מוגדרות, שמופיעות, אני חושב, בספר של בני גורן, למרבה ההפתעה האינטואיציה שמאחורי זה, שבמצעותה אפשר גם להבין את תוצאות הפעולות שכן מוגדרות, וגם להבין למה הפעולות שאינן מוגדרות אכן אינן מוגדרות, היא שאנחנו מזהים מספר (בהגדרה הכללית שלנו, כלומר גם מספרים "רגילים" וגם אינסוף ומינוס אינסוף) עם סדרה ששואפת אליו, ואז הפעולות, חיבור וכפל, מתבצעות על איברי הסידרה. כך למשל, 2 כפול אינסוף זה אינסוף, כי קל להוכיח שעבור כל סידרה איי_אן ששואפת ל2 וסידרה בי_אן ששואפת לאינסוף, סדרת המכפלה איי_אן כפול בי_אן שואפת לאינסוף. עכשיו למה 0*אינסוף לא מוגדר? כי ניקח a_n=1/n b_n=n אלה שתי סדרות ששואפות לאפס ולאינסוף בהתאמה, והמכפלה שלהן שואפת ל1 ניקח שתי סדרות אחרות a_n=1/2^n b_n=n כאן המכפלה שואפת לאפס ואפשר לקבל עוד הרבה מאוד מספרים אחרים, אם מנסים זוגות סדרות אחרים. עכשיו, בוא נשתמש בזיהוי הזה כדי לדבר על 0^0 ו0\0. למה? כי זה מגניב! אני רוצה להראות למה 0\0 זה לא מוגדר, אז מספיקות לי שתי דוגמאות, אבל מעניין לראות אם אפשר באמצעות הדוגמאות לקבל שהערך של הביטוי הלא מוגדר הוא כל מספר שנרצה, כולל אינסוף או מינוס אינסוף. עבור 0\0: כדי לקבל שהוא 0 ניקח 1 חלקי אקספוננט במונה ו1 חלקי פולינום במכנה, או ביתר פשטות ניקח את המונה להיות אפס ואת המכנה להיות איזושהי סדרה ששואפת לאפס וכל איבריה שונים ממנו כדי לקבל שהוא אינסוף, ניקח 1 חלקי פולינום במונה ו1 חלקי אקספוננט במכנה כדי לקבל שהוא מספר ממשי איי, ניקח במונה איי חלקי אן, ובמכנה 1 חלקי אן (למשל). עכשיו האתגר, 0^0. קל למצוא סדרות עבורו הוא 1 ו0 אני הצלחתי למצוא סדרות עבורן הוא מספר חיובי שרירותי, ואני חושב שגם למינוס 1, הצלחתי. אני לא זוכר לגבי אינסוף או מינוס אינסוף. האתגר שאני מציב לכם הוא למצוא סדרות כאלה בעצמכם, ואולי גם למספרים שליליים כללים, זאת אני לא הצלחתי.