פילוסופיה זה מדע
- פותח הנושא erezsh
- פורסם בתאריך
צודקת, אבל לפני מאה שנים ../images/Emo10.gif.
המתמטיקה כבר אינה אמורה להיות אמת כללית. קורט גדל הוכיח שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח את "אמיתותה המוחלטת" של המתמטיקה, ובכך ניפץ סופית את חלומם של גוטלוב פירגה ושל דייויד הילברט לבנות את המתמטיקה כבניין איתן המושתת כולו על מספר אקסיומות פשוטות מאוד, חלום שכבר נעקד על-ידי ראסל, כאשר זה מצא פרדוקס באקסימות הביסיסיות של המתמטיקה, כפי שהיו מקובלות. לפי-כך כל מתמטיקאי בר-דעת במאה העשרים אמור להשלים, כנראה, עם העובדה, שהמתמטיקה גם היא אינה יציר מושלם. לדעתי, לא כולם הפנימו את זה עדיין. אשמח לקבל תגובות.
המתמטיקה כבר אינה אמורה להיות אמת כללית. קורט גדל הוכיח שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח את "אמיתותה המוחלטת" של המתמטיקה, ובכך ניפץ סופית את חלומם של גוטלוב פירגה ושל דייויד הילברט לבנות את המתמטיקה כבניין איתן המושתת כולו על מספר אקסיומות פשוטות מאוד, חלום שכבר נעקד על-ידי ראסל, כאשר זה מצא פרדוקס באקסימות הביסיסיות של המתמטיקה, כפי שהיו מקובלות. לפי-כך כל מתמטיקאי בר-דעת במאה העשרים אמור להשלים, כנראה, עם העובדה, שהמתמטיקה גם היא אינה יציר מושלם. לדעתי, לא כולם הפנימו את זה עדיין. אשמח לקבל תגובות.
חוק גדל
החוק של האוסטרי המטורף Gödel אומר שאין מתמטיקה מושלמת שלא נשענת על לפחות אקסיומה אחת לא מוכחת. כל המתמטיקות שפותחו עד היום הינן כלליות, חוץ מאקסיומות הבסיס. באסיומות שונות נקבל לפעמים מתמטיקות שונות, אולם כל מתמטיקה כזו תהיה כללית באותו עולם הבנוי על האקסיומה. למשל, האקסיומה בעולם האוקלידי ששני קווים מקבילים לא ייפגשו לעולם, הביאו לפיתוח הגיאומטריה האוקלידית, שהיא גאומטריה מאד כללית בעולם שהאקסיומה הזו נכונה. בעולמות מתמטיים אחרים, כשאכסיומה זו שונה (כן, אותן נקודות דימיוניות) אנו מקבלים את המתמטיקה של המספרים המורכבים, גם היא כללית בעולמה. בעולם של תורת החברות האכסיומות הרבה יותר בסיסיות, אולם גם הן קיימות, והמתמטיקות שפותחו על אכסיומות אלו מאד כלליות, והצעידו את המדע לאן שהוא היום. הנרי
החוק של האוסטרי המטורף Gödel אומר שאין מתמטיקה מושלמת שלא נשענת על לפחות אקסיומה אחת לא מוכחת. כל המתמטיקות שפותחו עד היום הינן כלליות, חוץ מאקסיומות הבסיס. באסיומות שונות נקבל לפעמים מתמטיקות שונות, אולם כל מתמטיקה כזו תהיה כללית באותו עולם הבנוי על האקסיומה. למשל, האקסיומה בעולם האוקלידי ששני קווים מקבילים לא ייפגשו לעולם, הביאו לפיתוח הגיאומטריה האוקלידית, שהיא גאומטריה מאד כללית בעולם שהאקסיומה הזו נכונה. בעולמות מתמטיים אחרים, כשאכסיומה זו שונה (כן, אותן נקודות דימיוניות) אנו מקבלים את המתמטיקה של המספרים המורכבים, גם היא כללית בעולמה. בעולם של תורת החברות האכסיומות הרבה יותר בסיסיות, אולם גם הן קיימות, והמתמטיקות שפותחו על אכסיומות אלו מאד כלליות, והצעידו את המדע לאן שהוא היום. הנרי
אודות ההוכחה
ההוכחה של גדל היא מסה מתמטית-לוגית גדולה מאוד. ניתן להשיג אותה, כנראה, בכל ספריה מדעית בארץ, שמכבדת את עצמה. אני בכלל איני בטוח שהיא קיימת בעברית, בכל מקרה רוב ההוכחה הוא חישובים מתמטיים, ואלה זהים בעברית, באנגלית ובגרוזינית. אפילו אם תמצא אותה ברשת, האמן לי, לא תוכל לקרוא ולהבין דבר כה גדול ומורכב ממסך המחשב, תתעוור קודם
.
ההוכחה של גדל היא מסה מתמטית-לוגית גדולה מאוד. ניתן להשיג אותה, כנראה, בכל ספריה מדעית בארץ, שמכבדת את עצמה. אני בכלל איני בטוח שהיא קיימת בעברית, בכל מקרה רוב ההוכחה הוא חישובים מתמטיים, ואלה זהים בעברית, באנגלית ובגרוזינית. אפילו אם תמצא אותה ברשת, האמן לי, לא תוכל לקרוא ולהבין דבר כה גדול ומורכב ממסך המחשב, תתעוור קודם
מאין זה???../images/Emo12.gif
אמרת, כי "החוק של האוסטרי המטורף Gödel אומר שאין מתמטיקה מושלמת שלא נשענת על לפחות אקסיומה אחת לא מוכחת", מאין זה??? הדבר הזה היה ידוע הרבה לפני גדל, ואני מקווה שכל בר-דעת יכול להסיק את המסקנה הזאת בעצמו בערך בכיתה ו´. תורת אי-השלמות של גדל היא תורה מורכבת מהבחינה המתמטית, אך מסתכמת לשני משפטים די מובנים גם לאנשים ללא דוקטורט במתמטיקה, אנסה לנסחם באופן הפשוט ביותר. 1. בכל מתמטיקה שהיא (לא משנה אילו אקסיומות תעמודנה בבסיסה) תמיד יתקיימו משפטים כל-שהם, שלא ניתן יהיה להוכיחם או להפריכם. 2. לגבי כל אוסף אקסיומות שהוא, הבסיס למתמטיקה כל-שהיא, אין שום הליך קונסטרוקטיבי להוכיח שהאקסיומות קונסיסטנטיות. משמעות המשפט הראשון די ברורה, אבל המשפט השני אולי דורש הבהרה. משמעותו היא, שאין שום דרך להוכיח, שמספר אקסיומות לא יוצרות פרדוקסים (כגון הפרדוקס המפורסם של ראסל). במילים אחרות המשפט השני קובע שאין זה משנה אילו אקסיומות נבחר, לעולם לא נוכל להיות בטוחים שהן אינן סותרות זו את זו בדרך זו או אחרת. סתירה היא אינה דבר קל לגילוי, כפי שלפעמים נדמה, עובדה היא, שאקסיומות המתמטיקה דאז התגלו כיוצרות פרדוקס רק אחרי מאות שנים, שהסתמכו עליהן. למידע נוסף כדאי לפנות לספרות בנושא.
אמרת, כי "החוק של האוסטרי המטורף Gödel אומר שאין מתמטיקה מושלמת שלא נשענת על לפחות אקסיומה אחת לא מוכחת", מאין זה??? הדבר הזה היה ידוע הרבה לפני גדל, ואני מקווה שכל בר-דעת יכול להסיק את המסקנה הזאת בעצמו בערך בכיתה ו´. תורת אי-השלמות של גדל היא תורה מורכבת מהבחינה המתמטית, אך מסתכמת לשני משפטים די מובנים גם לאנשים ללא דוקטורט במתמטיקה, אנסה לנסחם באופן הפשוט ביותר. 1. בכל מתמטיקה שהיא (לא משנה אילו אקסיומות תעמודנה בבסיסה) תמיד יתקיימו משפטים כל-שהם, שלא ניתן יהיה להוכיחם או להפריכם. 2. לגבי כל אוסף אקסיומות שהוא, הבסיס למתמטיקה כל-שהיא, אין שום הליך קונסטרוקטיבי להוכיח שהאקסיומות קונסיסטנטיות. משמעות המשפט הראשון די ברורה, אבל המשפט השני אולי דורש הבהרה. משמעותו היא, שאין שום דרך להוכיח, שמספר אקסיומות לא יוצרות פרדוקסים (כגון הפרדוקס המפורסם של ראסל). במילים אחרות המשפט השני קובע שאין זה משנה אילו אקסיומות נבחר, לעולם לא נוכל להיות בטוחים שהן אינן סותרות זו את זו בדרך זו או אחרת. סתירה היא אינה דבר קל לגילוי, כפי שלפעמים נדמה, עובדה היא, שאקסיומות המתמטיקה דאז התגלו כיוצרות פרדוקס רק אחרי מאות שנים, שהסתמכו עליהן. למידע נוסף כדאי לפנות לספרות בנושא.
הבינותי
עכשיו ירדתי לסוף דעתך. עם ההסבר הזה אני בהחלט יכול להסכים
. הנה דבר, שחשבתי עליו (אולי כי איני בקיא מאוד בנושא): אם משפט כל-שהוא הוא שקרי, אזי תמיד אפשר לתת דוגמה נגדית, לפי ההגדרה של מהו משפט שקרי. ניתן אפוא להוכיח לגבי כל משפט שקרי את היותו שקרי בנתינת דוגמה נגדית. לפי-כך המשפטים היחידים, שיכולים להיות אי-שלמים הם משפטי-אמת. אם נידע, שמשפט הוא משפט אי-שלם, אז נידע, שהוא משפט-אמת, ובכך הוכחנו את אמיתותו וסתרנו את אי-שלמותו. המסקנה המתבקשת היא, שאי-אפשר להוכיח לגבי משפט כל-שהוא שהוא אי-שלם. מאידך, לפי הספרות שקראתי (לפני לא מעט זמן), ישנן שיטות, היכולות להצביע על משפטים כל-שהם כעל אי-שלמים. הסתירה פה ברורה, כיצד לישב אותה???
עכשיו ירדתי לסוף דעתך. עם ההסבר הזה אני בהחלט יכול להסכים
משפט שקרי
>>אם משפט כל-שהוא הוא שקרי, אזי תמיד אפשר לתת דוגמה נגדית<< ננסה לבדוק את המשפט "כל הדובים באזור הקוטב הם לבנים". זה לא כל כך פשוט לתת דוגמא נגדית, יש לסרוק את כל דובי הקוטב בשביל למצוא לפחות אחד שאינו לבן, ואם לא הצלחתי לסרוק את כולם ולא מצאתי דוב אחר, אזי לא הוכחתי את שקריות המשפט (אני מעדיף "אי נכונות" המשפט, למלה "שקריות" יש קונוטציות מאד שליליות). הנרי
>>אם משפט כל-שהוא הוא שקרי, אזי תמיד אפשר לתת דוגמה נגדית<< ננסה לבדוק את המשפט "כל הדובים באזור הקוטב הם לבנים". זה לא כל כך פשוט לתת דוגמא נגדית, יש לסרוק את כל דובי הקוטב בשביל למצוא לפחות אחד שאינו לבן, ואם לא הצלחתי לסרוק את כולם ולא מצאתי דוב אחר, אזי לא הוכחתי את שקריות המשפט (אני מעדיף "אי נכונות" המשפט, למלה "שקריות" יש קונוטציות מאד שליליות). הנרי
סתם
אם כך ,המתימטיקה היא בסך הכל תיאוריה.תיאוריה שעוזר לנו ´להבין´ את המציאות ולהתמודד איתה, כמו כל תיאוריה או הנחה אחרת כגון כל המדעים. בהסתמך על מספר קטן ככל האפשר של אקסיומות - התיאוריה נכונה. כשאני חושב על זה,בעצם שום דבר אינו ודאי לנו.תמיד נוכל לנסות לצמצם את מספר הנחות היסוד למינימום אך עדיין המתימטיקה היא מעיין אמת יחסית.
אם כך ,המתימטיקה היא בסך הכל תיאוריה.תיאוריה שעוזר לנו ´להבין´ את המציאות ולהתמודד איתה, כמו כל תיאוריה או הנחה אחרת כגון כל המדעים. בהסתמך על מספר קטן ככל האפשר של אקסיומות - התיאוריה נכונה. כשאני חושב על זה,בעצם שום דבר אינו ודאי לנו.תמיד נוכל לנסות לצמצם את מספר הנחות היסוד למינימום אך עדיין המתימטיקה היא מעיין אמת יחסית.
אמת ייחסית
>>המתימטיקה היא מעיין אמת יחסית<< לא, אינני חושב שהמתמטיקה הינה אמת ייחסית, המתמטיקה הינה אמת מוחלטת, באותו עולם שבו האכסיומות שלה נכונות. ניתן לבנות (ואכן יש) מתמטיקות שונות עבור אכסיומות שונות, אולם בכל עולם האמת היא מוחלטת (חוץ מחוק אי השלמות של Gödelt שמכניס אכסיומות נוספות). נביא את כל התאוריה לפסים מעשיים, אם תלך לבנקאי שלך ותסביר לו שהאוברדרפט שלך נובע ממתמטיקה לא מושלמת, אפילו מתמטיקאים לא יוכלו לעזור לך. הנרי
>>המתימטיקה היא מעיין אמת יחסית<< לא, אינני חושב שהמתמטיקה הינה אמת ייחסית, המתמטיקה הינה אמת מוחלטת, באותו עולם שבו האכסיומות שלה נכונות. ניתן לבנות (ואכן יש) מתמטיקות שונות עבור אכסיומות שונות, אולם בכל עולם האמת היא מוחלטת (חוץ מחוק אי השלמות של Gödelt שמכניס אכסיומות נוספות). נביא את כל התאוריה לפסים מעשיים, אם תלך לבנקאי שלך ותסביר לו שהאוברדרפט שלך נובע ממתמטיקה לא מושלמת, אפילו מתמטיקאים לא יוכלו לעזור לך. הנרי
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.