שאלה כללית

[Soak]

שאלה כללית

איך הגיעו למספר e? אני לומד לנים אבל את זה מעולם לא הסבירו לנו. האמת שגם איך הגיעו לפאי אני לא זוכר... רק שזה קשור איכשהו לרדיוס מעגל... אודה על תשובות

 

[atheist22]

exp

למספר e עצמו אין שום משמעות מיוחדת. מה שיש לו משמעות הוא הפונקציה exp, שהיא e^x. וגם ln, שהיא לוגוריתם בבסיס e. את המספר e לא תמצא בשום מקום אחר. כל פונקציה של x שגזירה אינסוף פעמים בתוך קטע ניתנת לייצוג ע"י סכום אינסופי של חזקות של x. אם רוצים למצוא את e, אז מוצאים את הטור של (exp(x ומציבים x=1. את pi ניתן למצוא מתוך הטור של (arctan(x.

 

[Acid454]

עוד דרך......

lim(1+1/x) x-->אינסוף​

 

[אינטגרטור]

הייתה לך טעות הקלדה וריבית דריבית

התכוונתה בטח לגבול של אחד פלוס אחד חלקי איקס..כל זה בחזקת איקס....כאשר איקס שואף לאינסוף זה אותו גבול כאשר איקס מציין מספר טיבעי מעבר למשמעות המתמתית היבשה של גבול זה קל לראות כי זה בדיוק הגבול של ריבית דריבית. כלומר נניח כי אתה מפקיד שקל בריבית שנתית של 100 אחוז..בסוף השנה תקבל שני שקלים. עבור ריבית דריבית...אתה יכול להפקיד תאורטית לחצי שנה..לקבל ריבית של חצי אחוז ולהיות עם 1.5 ש"ח..ואז את מה שקיבלתה להפקיד שוב בריבית של חצי אחוז וככה תישאר עם 2.25 שח. תאורטית ניתן לחלק ל 12 פרקי זמן וכל פעם לגבות את הכסף ולהפקיד שוב...ובגבול..כאשר גובים את הריבית אין סוף פעמים לכל היותר תישאר עם e שקלים ביד שזה באזור ה 2.71828 שח

 

[Acid454]

כמובן ששכחתי את החזקה... ../images/Emo9.gif

 

[yontanbn]

שלוש ההגדרות שאני מכיר לאי הן:

1. מה שנאמר כאן, ריבית דריבית, אכן, גבול של הסדרה (1 ועוד 1 חלקי אן) בחזקת אן. 2. סכום הטור 1 חלקי אן עצרת, כאשר אן נסכם מאפס עד אינסוף 3. המספר החיובי היחיד a, כך שנגדרת הפונקציה a^x היא a^x.

 

[רון חשבון]

ולגבי שאלתך : איך הגיעו למספר e ?

המספר e הוכנס למתמטיקה על-ידי מתמטיקאי שנקרא אוילר בשלהי המאה ה 17 , והאות e היא למעשה האות הראשונה בשמו. הוא נקרא גם לפעמים מספר אוילר וגם "מספר הקסם". אוילר פיתח אותו בכלל למטרה של הערכת מספר החיידקים המרבים מחיידק אחד בקצב מסויים. חקר תכונותיו של מספר זה היה נושא למחקר מתמטי על ידי רבים מגדולי המתמטיקה. ב 1815 הוכיח פוריה כי e הוא מספר אי-רציונאלי. ב 1840 הוכיח חוקר צרפתי ששמו ליאוויל כי e לא יכול להיות שורש של אף משוואה ריבועית שמקדמיה מספרים שלמים. ב 1874 הצליח ארמיט להוכיח כי e הוא מספר טרנסצנדנטלי (כדוגמת פאי), כלומר מספר שאיננו שורש של אף משוואה אלגברית בעלת מקדמים רציונליים. ב 2001 הצליח רון חשבון להוכיח שאין אף תלמיד שפוי שאוהב שאלות שמופיע בהן המספר הזה...

חשיבותו של המספר e במתמטיקה היא גדולה מאוד. אינני יכול לחשוב על ענף מהמדעים בכלל ובמתמטיקה בפרט, שהמספר הזה לא השתרבב לתוך הספרים שלו... חלק קטן מהשימושים שלו הוזכרו בהודעות שלמעלה. מעניין להזכיר משוואה המקשרת בין שלושת המספרים "המיוחדים" e , π , i ( להזכירכם i הוא שורש של מינוס אחד) והיא : e^(i·π) = -1 (כלומר e בחזקת איי כפול פאי שווה למינוס אחד)

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[Acid454]

נסלח לך על זה שאמרת ש-i הוא שורש

של מינוס אחד...

זה כמובן מה שמקבלים מזה ש-i בריבוע זה 1-, אבל אי אפשר ואסור להגיד את זה.

 

[רון חשבון]

זו היתה בדיחה ?

בעקבות הסמיילי לא הבנתי אם אמרת את זה בצחוק או ברצינות... מכל מקום, בוודאי שמותר ואפשר לסמן את i בשורש של 1-. כאחד שלימד שנים באוניברסיטה ובתיכון אמרתי את זה (וזה כתוב בספרות) באלפי מקומות... אם כוונתך לאסכולה הטוענת שיש בעיה עם הגדרת i כשורש של 1-, (שהרי הגדרתו היא מספר שאם נעלה בריבוע נקבל 1- ) , הטענה מתייחסת להגדרה ולא לסימון של i . אשמח להרחיב לך קצת בעניין הויכוח הזה, אבל קודם בוא נשמע מה היתה כוונתך ואם זו בכלל היתה בדיחה וזהו...

 

[Acid454]

הכוונה שלי הייתה

שכשאתה נכנס ללמד כיתה שיעור ראשון במספרים מורכבים (או שמא מרוכבים? לא ברור...) אסור לך להגיד ש-i הוא השורש של מינוס אחד, הרי פונקצית השורש מוגדרת רק למספר חיוביים, ואין משמעות לשורש של מספר שלילי. כלומר אסור להגדיר אותו כך, אבל ניתן להתייחס אליו כשורש של מינוס אחד. הגדרה הנכונה של i היא הזוג הסדור (0,1) ב-C. (כמובן שצריכה לבוא לפני כל ההקדמה של מה זה השדה C וכל זה, אבל זה ידוע)

 

[רון חשבון]

../images/Emo45.gif מסכים איתך !

עכשו הבנתי את כוונתך... ויש פארדוקס יפה בעניין הזה, עוד מעט אני ארשום אותו. אגב, אני מאוד נהנה מהחידות שאתה מביא לכאן. מתי השלישית ?

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[Acid454]

בקרוב...

 

[רק עכשיו נכנסתי]

מצטער על הבורות , אבל מה זה השדה C?

 

[Acid454]

שדה המספרים המורכבים

 

[איתי חזות]

טעות

טעות

 

[Soak]

רון

תודה על תשובתך. רציתי יותר להבין איך הגיעו לערך המספרי שלו? קראתי את שאר ההודעות אבל הם כתובים בשפה מתימטית וכוללים הגדרות שאני לא מכיר

תודה מראש

 

[Acid454]

הנה

e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+...​

זה נובע מפיתוח טיילר

 

[GalRatz]

באופן כללי יותר

מצורף פיתוח טיילור של e^x . ניתן לראות בקלות שאם נגזור את הטור איבר איבר, נקבל בדיוק את אותו טור.

 

[מ ס ט י ק]

רון לגבי מה שגילית...

אני תלמידה די שפויה שדווקא אוהבת תריגילים עם e לעומת זאת אני לא סובלת תרגילים עם שברים.. בגלל ב- e אפשר להשאיר את המספר כמות שהוא, אני אוהבת לפתור את התרגילים האלו... לכן אפשר להגיד שב- 2002 רון חשבון גילה שישנם תלמידים שפויים שאוהבים לפתור תרגילים עם המספר הזה...

 

[Acid454]

עוד מקום שבו פוגשים את e

באלקטרוניקה, הזרם הריגעי בקבל הוא הזרם המקסימלי כפול e בחזקת מינוס t חלקי RC. הגיעו לזה ע"י משוואות דיפרנציאליות.