אז ככה
כשאנחנו כותבים אינסוף כפול 0, אנחנו מתכוונים לאינסוף כפול קבוצה ממידה אפס. זה סימון שצריך להיות מספר ממשי מורחב (כלומר מספר ממשי או אינסוף או מינוס אינסוף). האפס הוא קבוצה ממידה 0. אם קיבלנו פלוס/מינוס אינסוף, זה מספר ממשי מורחב, ואי אפשר להכפיל אותו ב0 יותר (שהרי אינסוף כפול 0 לא מוגדר). אפשר להכפיל אותו ב0 שמהווה קבוצה ממידה 0 אם אנחנו משתמשים במידת מכפלה על מרחב גדול יותר. אבל אז זה לא אותו גודל.
בכל מקרה, בתשובה שנתנו לך שם מסבירים שבמקום להגדיר את האינטגרל של פונקציה אופיינית להיות המידה של התומך של הפונקציה כפול הערך של הפונקציה, אפשר להגדיר את זה להיות הסימן של הפונקציה כפול המידה של
{(x,y) | 0 <= y <= f(x)}
מההגדרה של מידת מכפלה, הגודל הזה יוצא בדיוק
y_0 * mu(f^{-1}(y_0))
אם y_0 סופי שונה מאפס בתמונה של פונקציה אופיינית f. כדי שנוכל לכתוב אינטגרלים של פונקציות פשוטות ע"י סכום מהצורה
\sum_{i} y_i mu(f^{-1}(y_i))
נרצה להגדיר פלוס/מינוס אינסוף כפול מידה אפס/מידה חיובית באופן מתאים. נגדיר אינסוף כפול מידה אפס להיות המידה של
{(x,y) | 0 <= y <= f(x) }
כאשר f פונקציה שמוגדרת 0 בכל מקום חוץ מקבוצה ממידה 0 שנקרא לה N, ועל הקבוצה N, נניח שf מקבלת את הערך אינסוף. לקבוצה הזאת יש אותה מידה כמו לקבוצה
{(x,y) | x \in N, 0 <= y}
והבחור שם הוכיח באמצעות סיגמא אדטיביות שלקבוצה האחרונה יש מידה 0 (הוא כותב את הקבוצה בתור איחוד של הקבוצות N x [n,n+1)z).
אז לכל פונקציה אופיינית שמקבלת את הערך אינסוף על קבוצה ממידה 0, וביתר המקומות היא 0, מתקיים שהשטח מתחת לגרף שלה הוא 0, ולכן נגדיר אינסוף כפול מידה 0 להיות 0. אתה לא מרוצה מההסבר הזה?
