שאלה פילוסופית בתורת המידה.

AnarchistPhilosopher

Well-known member
מעולה!

זה אומר עדיין שאפשר להמציא תורת מידה עם קונבנציה שונה מאשר השוויון לאפס.
האם יש ספר שמדברים על האפשרות להגדיר אינסוף כפול אפס שווה לאינסוף?
&nbsp
כי הקונבנציה בתורת המידה בתואר הראשון שהוא שווה לאפס ולא לאינסוף.
&nbsp
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
האמת זה מה שחשבתי גם לפני שקראתי את ההוכחה שלך.

אז למה בתואר הראשון משתמשים רק בקונבציה הראשונה ולא באחת מהשתיים האחרות?
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
רגע האינטגרל של הפונקציה הזו הוא פשוט x^0.5*2.

למה שהאינטגרל לא יהיה סופי?
תרחיב בבקשה.
&nbsp
 

DarkCrystal

New member
הפונקציה אינה חסומה בסביבות 0

זאת דוגמה לפונקציה שאינה אינטגרבילית רימן (אם אתה בוחר קטע שמתחיל מ0).

אם תבחר בקונבנציה שאינסוף כפול מידה 0 זה אינסוף או מינוס אינסוף, אתה תקבל שפונקציות לא חסומות הן אוטומטיות לא אינטגרביליות לבג. אבל למשל 1 חלקי שורש x היא פונקציה שהיא כן אינטגרבילית לבג אבל לא רימן. חלק מהמוטיבציה בתורת המידה היא שפונקציות אינטגרביליות לבג מרחיבות פונקציות אינטגרביליות רימן (למרות שצריך להזהר בלמה מתכוונים, יש אינטגרלי רימן לא אמיתיים של פונקציות שהן לא אינטגרביליות לבג, כי האינטגרלים לא מתכנסים בהחלט, למשל sin(x)/x).
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
דווקא נשמע לי הגיוני שפונקציה לא חסומה לא תהיה אינטגרבילית.

כאמור מבחינה פילוסופית עדיף להציג את כל המקרים האפשריים של תיאוריה מתמטית. ושהמדענים יבחרו באיזו תורת מידה הם מעדיפים להשתמש בה לפי התופעות המתרחשות בניסוי.
&nbsp
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
כאמור מבחינה פילוסופית ייתכן שהניסוי הוא לא חזות הכל.

ויש דברים שאינם גלויים לחושינו.
&nbsp
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
אז קריסטל, האם אתה מכיר ספרים שמשתמשים באחת משתי הקונבנציות

האחרות?
&nbsp
כי אני לא מכיר.
&nbsp
 

DarkCrystal

New member
לא

זה יעשה לך גם כל מיני דברים מוזרים כמו שאינטגרל של "פונקציית מדרגה" (צירוף לינארי של פונקציות אופייניות) זה לא סכום על y כפול המידה של התמונה ההפוכה של y (כי אינסוף כפול מידה 0 זה לא 0).
 

DarkCrystal

New member
דרך אגב

גם בתורת הקבוצות 0 כפול אינסוף זה 0. יש גם גרסה של תורת המידה עם סודרים. אין שם אינטגרלים, אבל אולי אתה יכול לראות את הקונבנציה הזאת גם מהזווית הזאת (לא ניסיתי).
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
אתה מתכוון מכפלה קרטזית של הקבוצה הריקה עם למשל קבוצה

עם מונה אינסופי.
&nbsp
אני רק חושב ששווה ללמוד על תורות מידה עם שתי הקונבנציות האחרות, כי בסופו של יום מה זו מתמטיקה אם לא מיצוי כל האפשרויות הקיימות?
&nbsp
פיזיקה והנדסה זה כבר סיפור אחר...
&nbsp
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
אני שמח שהצלחנו להעיר קצת את הפורום הישנוני שלנו...

ממשחקי טטריס למיניהם...

&nbsp
 

DarkCrystal

New member
אז ככה

כשאנחנו כותבים אינסוף כפול 0, אנחנו מתכוונים לאינסוף כפול קבוצה ממידה אפס. זה סימון שצריך להיות מספר ממשי מורחב (כלומר מספר ממשי או אינסוף או מינוס אינסוף). האפס הוא קבוצה ממידה 0. אם קיבלנו פלוס/מינוס אינסוף, זה מספר ממשי מורחב, ואי אפשר להכפיל אותו ב0 יותר (שהרי אינסוף כפול 0 לא מוגדר). אפשר להכפיל אותו ב0 שמהווה קבוצה ממידה 0 אם אנחנו משתמשים במידת מכפלה על מרחב גדול יותר. אבל אז זה לא אותו גודל.

בכל מקרה, בתשובה שנתנו לך שם מסבירים שבמקום להגדיר את האינטגרל של פונקציה אופיינית להיות המידה של התומך של הפונקציה כפול הערך של הפונקציה, אפשר להגדיר את זה להיות הסימן של הפונקציה כפול המידה של
{(x,y) | 0 <= y <= f(x)}
מההגדרה של מידת מכפלה, הגודל הזה יוצא בדיוק
y_0 * mu(f^{-1}(y_0))
אם y_0 סופי שונה מאפס בתמונה של פונקציה אופיינית f. כדי שנוכל לכתוב אינטגרלים של פונקציות פשוטות ע"י סכום מהצורה
\sum_{i} y_i mu(f^{-1}(y_i))
נרצה להגדיר פלוס/מינוס אינסוף כפול מידה אפס/מידה חיובית באופן מתאים. נגדיר אינסוף כפול מידה אפס להיות המידה של
{(x,y) | 0 <= y <= f(x) }
כאשר f פונקציה שמוגדרת 0 בכל מקום חוץ מקבוצה ממידה 0 שנקרא לה N, ועל הקבוצה N, נניח שf מקבלת את הערך אינסוף. לקבוצה הזאת יש אותה מידה כמו לקבוצה
{(x,y) | x \in N, 0 <= y}
והבחור שם הוכיח באמצעות סיגמא אדטיביות שלקבוצה האחרונה יש מידה 0 (הוא כותב את הקבוצה בתור איחוד של הקבוצות N x [n,n+1)z).
אז לכל פונקציה אופיינית שמקבלת את הערך אינסוף על קבוצה ממידה 0, וביתר המקומות היא 0, מתקיים שהשטח מתחת לגרף שלה הוא 0, ולכן נגדיר אינסוף כפול מידה 0 להיות 0. אתה לא מרוצה מההסבר הזה?
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
ראה, אינסוף כפול אפס זה קונבנציה כדי שתתקיים תכונה מסויימת

כלומר משפט מסויים, אבל באותה מידה אפשר להחליט לקבוע את הקונבנציה להיות שונה ואז לחקור מה יהיו השינויים בתיאוריה.
&nbsp
מאחר ואני טוען שהמספר הזה יכול להיות כל מספר שבא לנו, יש הרבה תורות מידה מעניינות פרט לתורת המידה שאתה מכיר וגם אני מכיר.
&nbsp
אינסוף תורות מידה כאלו, אינסוף לא בן מניה.
&nbsp
ולכן יש עוד הרבה תורות ללמוד גם במתמטיקה וגם בפיזיקה, כי הרי תורת המידה היא הבסיס לתורה ארגודית שבבסיסה היא הבסיס למכניקה סטטיסטית בפיזיקה.
&nbsp
זה נשמע משוגע, אני יודע, אבל המציאות משוגעת!
&nbsp
עכשיו סלח לי אני צריך לבדוק 200 ומשהו תרגילים, נדסקס בשבוע הבא אולי...
&nbsp
 

DarkCrystal

New member
כן

אם אתה דורש אסוציאטיביות, אפשר רק 0 כפול אינסוף זה 0. אם 0 כפול אינסוף זה a ממשי אז נכתוב 0 כפול אינסוף = 0 כפול 0 כפול אינסוף = 0 כפול a שווה ל0. אם 0 כפול אינסוף זה אינסוף אז נכתוב 0 כפול אינסוף שווה מינוס אחד כפול אפס כפול אינסוף שווה מינוס אחד כפול אינסוף שווה מינוס אינסוף. אפס אינסוף שווה מינוס אינסוף הוא הראה שם. אם זה משכנע אותך שצריך להגדיר את האינטגרל של פונקציה שווה אינסוף על קבוצה ממידה 0, ומקבלת 0 בכל מקום אחר בתור 0, אז אני בעד.
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
לא הבנתי אותך.

אני אכתוב באנגלית. If a=0*\infty then 0*\infty = 0*(0*infty)=0*a &nbsp so a=0. &nbsp Ok that's fine, then why did he say you can define 0*infty=1 if the multiplication isn't associative? &nbsp if the multiplication is associative then we have only another option which is 0*infty = infty. &nbsp How does Measure theory look like with that convention? &nbsp Peace out! &nbsp
 

DarkCrystal

New member
If you require associativity

then you can't have 0 * \infty = \infty. Suppose 0 * \infty = \infty. Then 0 * \infty = ((-1) * 0) * \infty = (-1) * (0 * \infty) = -1 * \infty = -\infty.
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
If you require associativity

then you can't have 0 * \infty = \infty. Suppose 0 * \infty = \infty. Then 0 * \infty = ((-1) * 0) * \infty = (-1) * (0 * \infty) = -1 * \infty = -\infty.
אני מבין מה שאתה אומר.

בכל מקרה כאחד שבעיקר לקח קורסי חדו"א 1-3 ולא לקח קורס בתורת המידה. (למרות שאני קראתי וחזרתי לקרוא על תורת המידה מהספר של האו"פ).
עדיין זה נראה לי לא אינטואיטיבי להניח שאינסוף כפול אפס שווה ל-0 מהסיבה הפשוטה שבחדו"א כאשר לוקחים גבול של משהו ששואף לאינסוף כפול משהו ששואף לאפס צריך להשתמש בכלל לופיטל הרי יש לנו:
\infty*0=\infty/\infty
והגבול הסופי יכול להיות כל מספר סופי או אינסופי או אפילו לא קיים.

איך פותרים את הבעיתיות הזו?
האם זה לא אותו אינסוף?
 
למעלה