שאלה

[כרומטי]

שאלה

קראתי בספר "על מרחב" של מיציו קאקו (איתתי את השם שלו נכון?) שגאוס פיקפק בגאומטריה האוקלידית....לא מבחינה מתמטית אלא מבחינה פיסיקלית....הוא לא היה בטוח אם הגאומטריה הזאת נכונה בחיים האימיתיים. אז הוא עשה ניסוי. הוא ועוזרים שלו עלו על שלושה הרים ויצרו בין ההרים משולש דמיוני ומדדו את זויות המשולש. הרעיון היה לבדוק אם סכום הזויות יהיה גדול או קטן בצורה משמעותית מ 180 מעלות. אבל זה לא עבד....סכום הזויות היה בערך 180. אבל במחבר העיר שזה היה רעיון טוב ושאם גאוס היה מודד את הזויות במשולש בין 3 כוכבים אז הוא היה מקבל תוצאות אחרות....כלומר סכום הזויות לא היה שווה לא היה קרוב ל180.... והשאלה שלי היא....למה? מה זה משנה איזה משולש הוא מודד? הרי סכום הזויות בכל משולש שווה ל180 לא משנה מה גודלו...... תודה מראש על ההסבר

 

[vizini]

תלוי על מה מצוייר המשולש.

תחשוב על משולש המצוייר על כדור. צא מהקוטב הצפוני, לך בקו ישר עד קו המשווה, משם פנה בזוית ישרה ולך על קו המשווה (כמה שאתה רוצה) ואחר כך תפנה שוב בזוית ישרה לכיוון הקוטב ולך עד הקוטב. נוצר משולש שבו, נוסף לזוית הראש, יש שתי זויות ישרות ולכן סכום הזויות הוא יותר מ 180 מעלות. אם נמלה היתה מבצעת את הניסוי הזה, היא מייד היתה יכולה להסיק כי היא חייה על כדור ולא על מישור. באנלוגיה, אם אנחנו נבצע ניסוי כזה ונגלה כי סכום הזויות במשולש גדול מ 180 נוכל מייד להסיק כי המרחב התלת מימדי שלנו איננו שטוח.

 

[כרומטי]

טוב....אבל

אם אני מצייר משולש בין שלושה כוכבים אז הוא אמור להיות שטוח לא? כלומר אין שום דבר בין שלושת הכוכבים שיכול לגרום לבליטות במשולש לא? זה משולש דו מימד לא? או שאני טועה...... תרגישו חופשיים לתקן אותי....ממילא רוב הסיכויים הם שאני טועה....

 

[vizini]

תחשוב על הנמלה.

הכדור כל כך גדול ביחס אליה כך שמקומית נראה לה כאילו היא נמצאת במישור. רק ה"תרגיל" עם המשולש, שמודד את המרחב שבו הנמלה נמצאת בקנה מידה גדול יכול לגלות לה את האמת. עכשיו תחשוב עלינו. אנחנו חיים במרחב תלת מימדי. המרחב אמנם נראה לנו שטוח בקנה מידה מקומי, אבל אולי אנחנו עוורים לעקמומיות שלו בקנה מידה גדול, ממש כמו הנמלה? לכן אנחנו צריכים לעשות תרגיל דומה של משולש בקנה מידה גדול כדי לדעת את האמת. אם אתה מצייר משולש בין כוכבים, המשולש נראה לך שטוח מקומית, בדיוק כמו שהמשולש על הכדור נראה לנמלה, אבל אם תמדוד את הזויות תוכל לדעת בוודאות.

 

[MerlinTheWizard]

המשולש...

שאתה מדבר עליו לא יכול להיוצר כי אם ישנם שתי זווית בעלות 90 מעלות אין זווית ראש! איך יכולה להיות זווית ראש זה יהיה סוג של מרובע! אבל מה שאני חושב שיכול להיות פה זה שמדדו את הזויות החיצוניות של המשולש ואז הם קיבלו יותר מ-180 מעלות אין לי השארה אחרת אבל מה שאמרת ויזיני פשוט לא יתכן! אולי אם המשולש הוא תלת מימדי אבל פה אנחנו מדברים על משולש דו מימדי אם אינני טועה! ---------------------------------------- מרלין ראש מסדר המכשפים

 

[vizini]

לא קראת את דברי בעיון.

אמרתי שאת המשולש מציירים על כדור. ראה ציור מצורף

 

[vizini]

לא קראת את דברי בעיון.

אמרתי שאת המשולש מציירים על כדור. ראה ציור מצורף

 

[MerlinTheWizard]

אבל לא...

התכוונו פה למשולש דו-מימדי?

 

[vizini]

בוודאי. גם המשולש שמצוייר על הכדור

הוא דו מימדי (לפחות מנקודת הראות של הנמלה).

 

[Deathatred]

זה משולש דו-מימדי

אך לא על מישור אוקלידי שטוח אלא על מישור בעל עקמומיות. כל נקודה על פני השטח של כדור אפשר לאפיין באמצעות שני מספרים (למדל: קו אורך וקו רוחב) ולכן מדובר במישור דו-מימדי ולא תלת-מימדי. עשה ניסוי, קח גלובוס וצא מקן המשווה בזווית 90 מעלות לאחד הקטבים. רד לאורך אחד מקווי האורך ותגיע לקו המשווה בזווית 90 מעלות. קל לראות שעשית מסלול של משולש בין 3 נקודות. כדי להיווכח באופן לא-מתמטי שפני השטח של כדור הם אכן מישור דו-מימדי, קח דף נייר ועקם אותו כך שהוא יכסה חלק מהגלובוס (לחילופין, אתה יכול לגזור חלק מהגלובוס ולשטח את היריעה ובכך תקבל מישור אוקלידי שטוח, אבל חראם על הגלובוס). המרחב התלת-מימדי שלנו הוא פחות או יותר שטוח (אך לא שטוח באופן אמיתי, טהור ומושלם! הוא רק בקירוב טוב שטוח), לכן, אם נבצע מדידה במרחקים מספיק גדולים נוכל לגלות את העקמומיות שלו. עוד הערה: מה שאתה מדבר על מישור שטוח וכו הם למעשה פירוש לגיאומטריה האוקלידית ולא הגיאומטריה עצמה. הגיאומטריה עצמה היא אוסף האקסיומות וההגדרות שמהן אוקלידס יצא והוכיח את כל המשפטים שלו. שנה קצת את האקסיומות וגבל גיאומטריה אחרת. זה מה שעשו גאוס ורימן.

 

[arye9]

משולשים ספריים

מצורף קישור המסביר משולשים ספריים

 

[voguemaster]

בפשטות..

משולש בגיאומטריה אוקלידית, תמיד סכום הזוויות שלו 180 מעלות. הדרך הכי קלה לדעת האם משולש נמצא במישור אוקלידי הוא לבדוק האם המישור הוא מישור "רגיל", כלומר, מערכת הקואורדינטות לא עקומה. כלומר, משולש במישור דו-ממדי תמיד יהיה רגיל, עם 180 מעלות. קח מערכת קואורדינטות כדוריות (ספריות). תעתיק לשם משולש, קיבלת משהו מוזר

 

[Deathatred]

מה שקובע את המימד

של המרחב, האם הוא קו, מישור (דו-מימד), תלת-מימד, 4-מימד וכו הוא לא העקמומיות שלו אלא מספר הקואורידנטות שדרושות לך כדי לאפיין את מיקומה של כל נקודה. לדוגמה, כל נקודה על קו ישר תוכל לאפיין באמצעות מספר אחד - מרחקו מהראשית. לנקודה על מישור אתה צריך כבר זוג סדור (X,Y) או גודל וכיוון. לנקודה במרחב לא יספיקו X ו Y, אתה צריך גם את הגובה, את Z. קל לראות, שנקודה על פני השטח של כדור אפשר לאפיין באמצעות שני מספרים בלבד (קו אורך וקו רוחב למשל).

 

[pallidfool]

אני חייב לציין שההגדרה שלך

אינה נכונה. כפי שאולי ידוע לך, עוצמת הקבוצה RXR (כלומר כל הזוגות הסדורים שאיבריהם ממשיים) זהה לעוצמת הקבוצה R ולעוצמת הקבוצה RXRXR. זה אומר למשל שקיימת f חח"ע ועל בין RXR ל-R, ולכן ניתן לתאר כל נקודה על המישור שלך בעזרת מספר ממשי יחיד, כלומר, ע"פ הגדרתך, מימד המישור הוא 1.

 

[Deathatred]

כשמדברים על מימד

הכוונה היא אינה לעוצמה אינסופית של קבוצה אלא לגודל המאפיין מרחב וקטורי שתלוי במספר איברי הבסיס שלו (לפחות לגבי מרחב וקטורי נוצר סופית). כדי שמימדים של שני מרחבים יהיו שווים נדרשת העתקה חח"ע ועל שהיא גם טרנספורמציה ליניארית, כלומר, שומרת על הפעולות של המרחב.

 

[pallidfool]

אתה אמרת

מספר קואורדינטות שדרושות לך, ואני הסברתי שזה לא מדויק כי אפשר בעזרת קואורדינטה אחת לתאר את כל הקואורדינטות ביחד.

 

[Deathatred]

התכוונתי לקואורדינטות של וקטור

 

[voguemaster]

לא על זה אני מדבר

ואני גם לא מדבר על אלגברה לינארית. משולש לצורך העניין הוא צורה דו-מימדית. כמו שטענת, את המשולש אפשר לתאר במישור דו מימדי, כל קודקוד ע"י קואורדינטה בעלת שני מספרים. קח את אותו משולש, תעטוף אותו סביב כדור ותקבל משהו אחר לגמרי. שים לב טוב: אומנם כל קודקוד אתה יכול לתאר ע"י זוג מספרים, קו אורך וקו גובה, קרי - שתי זויות (טתה ופי לצורך העניין), אבל הכדור הוא גוף תלת-מימדי ובתור כזה, כל נקודה ונקודה בגוף הזה (כולל אוסף כל הנקודות שעל השפה) מתוארת ע"י שלוש מספרים. המשולש הרגיל הוא חיה של גיאומטריה אוקלידית. כשאתה שם אותו במרחב אחר (אפילו דו-מימדי) שלא מתנהג כמו מישור שטוח ורגיל, אתה מקבל משהו אחר. העובדה שיש אילוץ שהקואורדינטה האחרונה היא רדיוס המעגל עדיין לא אומר שהיא לא קיימת! זאת לא בעיה במכניקה אנליטית ששם אפשר להוריד דרגות חופש. לסיכום, משולש מוגדר בתוך מישור דו-מימדי אוקלידי ורגיל (כל אקסיומות הגיאומטריה). כאשר אתה מעביר אותו למרחב שונה (אפילו אם בעל אותו מספר מימדים לכאורה), תקבל משהו אחר: משולש אחר. ולצורך העניין, שפת כדור היא לא מרחב דו-מימדי. הקואורדינטה השלישית חיה וקיימת.

 

[Deathatred]

הבהרה

כאן אתה נתפס יותר מידי לפירושים. גיאומטריה בסופו של דבר זה אוסף של הגדרות ואקסיומות וכל המשפטים הנובעים מהן. האקסיומות של אוקלידס מכתיבות מה שנקרא "מישור שטוח", אך אם נשנה קצת את האקסיומות נקבל גיאומטריה שאפשר לפרש כגיאומטריה על מישור עקום שנמצא על פני שטח של כדור. הכדור הוא אכן גוף תלת-מימדי, אך פני השטח שלו הם מרחב דו-מימדי (כאשר אני מניח שאי-אפשר לחפור אל תוך הכדור או להתרומם אל השמיים). אתה מתעקש שצריך שלושה קואורדינטות, אבל שתיים מספיקות: הזוויות פי ותטה. הרדיוס לא מעניין אותי מאחר והוא קבוע לכל נקודה על פני שטח הכדור. למעשה, הרדיוס הוא גורם חיצוני ולא הכרחי לעניין. הדבר היחידי שהוא מגדיר זה את עקמומיות המישור. בכל מקרה, זהו רק פירוש לגיאומטריה מסוימת שכן אפשר לבנות (וגם בנו) גיאומטריה מסוימת שע"י שינוי במספר אקסיומות - המערכת מתנהגת כמו על פני שטח של כדור. בגיאומטריות הלא אוקלידיות יש משולשים שסכום זויותיהם איננו 180 מעלות. המשולש המקורי הוגדר ע"י אוקלידס על מישור דו-מימדי שטוח, אך באופן אנלוגי לגמרי אפשר להגדיר משולש במישור דו-מימדי עקום. אם נגדיר משולש כצורה הבנויה משלושה קווים ישרים שמחברים שלושה נקודות כלשהן על המישור (לפחות אחת מהן נמצאת על ישר שונה מהישר שמגדירות השתיים האחרות) אזי המשולש שתיארתי לך, שמצויר על פני כדור, תקני לחלוטין. אתה חושב על שטח פני כדור בתור נגזרת דו-מימדית של עצם תלת-מימדי וזה לא נכון. אומנם, חשיבה כזאת מאפשרת הסקת תכונות גיאומטריות באופן אינטואיטיבי למרות שמדובר ביישות עצמאית דו-מימדית שאיננה תלויה בעצם תלת-מימדי להגדרתה. אפשר בקלות להגדיר (באמצעות אקסיומות) מישור שמתנהג כמו פני שטח של כדור בלי שום צורך להגדיר "כדור", "רדיוס" או "תלת-מימד".

 

[MerlinTheWizard]

הבהרה

לא ברורה!