הוכחה ל-3
נסדר את אי השיויון הנתון בצורה הבאה:
 
X^3 - X ^2 <= Y^3 - Y^4
 
 
 
 
נשים לב לממצאים א ו-ב:
 
א. האגף הימיני בהכרח קטן מ-1 כי:
אם Y גדול מ -1 אז האגף בהכרח שלילי
אם Y בין 0 ל-1 אז האגף בהכרח בין 0 ל-1
נתון ש-Y גדול מ-0 לכן אין צורך להתייחס לתרחיש בו Y הוא שלילי
 
ב. האגף השמאלי הוא בהכרח גדול מ 1-
אם X גדול מ-1 אז כל האגף גדול מ-1
אם X בין 0 ל-1 , אז האגף בין 0 ל 1-
נתון ש-X גדול מ-0 לכן אין צורך להתייחס לתרחיש בו X הוא שלילי
 
 
ג. כעת נניח בשלילה כי X גדול מ-1 , אם X גדול מ-1 אז האגף השמאלי בהכרח גדול מ-1 ולכן גם האגף הימיני גדול מ-1 , בסתירה לממצא א' ולכן X בהכרח קטן מ-1
 
ד. נניח בשלילה כי Y גדול מ-1 , אם Y גדול מ-1 אז האגף הימני קטן מ 1- , מה שאומר שהאגף השמאלי גם הוא קטן מ 1- , בסתירה לממצא ב ולכן Y בהכרח קטן מ-1
 
ה. על פי ג' והנתון , X הוא בין 0 ל-1 ולכן X^3 הוא בין 0 ל-1
ו. על פי ד' והנתון , Y הוא בין 0 ל-1 ולכן Y^3 הוא בין 0 ל-1
 
על פי ה ו-ו , חייב להתקיים ש- X^3+Y^3 קטן מ-2
 
מ.ש.ל
 
לא התייחסתי לשיויון בקצוות (0 , 1 , 1-) בשום מקום בשביל לא להסתבך בטקסט , ההוכחה ניתנת בקלות להרחבה למקרים אלו.
 
 
 
