שתי שאלות במכניקה.

[AnarchistPhilosopher]

שתי שאלות במכניקה.

1. מסה נקודתית m נעה במאונך למוט המונח על משטח חסר חיכוך ופוגעת בו התנגשות אלסטית. אורך המוט ומסת המוט הם L וM בהתאמה. באיזה מרחק ממרכז המסה של המוט צריכה להיות הפגיעה כדי שהמסה m תעצר במקומה? מהו תחום יחס המסות בו מתקיימת התופעה? הפתרון שלי הוא כזה: נראה לי שחסרה פה מהירות לפני הפגיעה של המסה m, לכן אני מניח שהיא נתונה. עכשיו משימור תנע קווי נקבל ש-MV=mv, ומשימור אנרגיה, כאשר האנרגיה ההתחלתית היא mgh+mv^2/2+MgL/2 והאנרגיה הסופית היא: I*w^2/2+MV^2/2 כאשר I מומנט ההתמד מסביב למרכז המסה של המוט, כלומר I=ML^2/12, האנרגיה הסופית כאשר המוט ברגע הנפילה לקרקע. מפה אני מחלץ את h שצריך למצוא, ע"י הצבה של V במקום v, ו-w מתקבל משימור תנע זוויתי, כלומר mvh=I*w. זה נראה לי נכון, אבל אולי אפשר לפתור את זה בלי ההנחה שלי ש-v נתון. (התנע הזוויתי צריך לקחת בחשבון גם את המהירות הקווית V, אבל נראה לי שזה מתבטל מכיוון שזה מאונך למרכז המסה, סביבה אני מבצע את חישוב התנע הזוויתי). בכל אופן, עבור השאלה השניה, אני מניח שעבור השאלה הזו צריך לתפור את הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית עם משתנה h, ולהראות שהוא גדול או שווה לאפס, ואז מזה למצוא את יחס המסות, האם אני בכוון, או טועה בגדול?

 

[AnarchistPhilosopher]

תיקון באנרגיה הראשונית זה אמור להיות

mg(L/2-h)zz במקום mgh.

 

[AnarchistPhilosopher]

עוד שאלה אחת שאני מתחבט בה:

לכמונית כיבוי מסה יש מסה M0 (כולל המים) והיא נעה על ארבעה גלגלים שרדיוסם הוא R ומומנט ההתמד של כל אחד הוא I, מקדם החיכוך הסטטי בין הגלגלים לכביש הוא mu,( יש להזניח כוחות חיכוך אחרים), הגלגלים מתחלקים על הכביש ללא החלקה, זרנוק המים מופנה לאחור, מסת המים ברגע t=0 היא 2/3M0 ברגע זה המכונית במנוחה. המכונית נעה בתאוצה קבועה נתונה, a, מהו קצב פליטת המים? ובכן זו נראית שאלה דיפרנציאלית פשוטה, אז רשמתי את משוואת הכוחות של ניוטון, החיכוך שעל כל אחד מארבעת הגלגלים שווה, ולכן סה"כ נקבל ש-4f=dp/dt, כאשר מזה שנתון הגלגלים מתגלגלים ללא החלקה נקבל ש- f*R=I*a/R לכן f=I*a/R^2, וp=m(t)*v(t)zz, לכן נקח נגזרת ולפי כלל השרשרת:

(dm/dt)*u+a*m(t)=4I*a/R^2​

עכשיו נראה לי שהמהירות היחסית בין המכונית לזרנוק המים הוא אפס, כי המהירות שבהם נעה המכונית ביחס לקרקע שווה אך מנוגד בכוונו למהירות של המים, לכן

m(t)=4I/R^2 m(t)=M0-s*t dm/dt=s​

זו לא נראה לי התשובה הנכונה. מישהו יכול לכוון אותי לתשובה הנכונה? תודה מראש.

 

[AnarchistPhilosopher]

סליחה על הטעויות, מיהרתי בכתיבה.

 

[niv1990]

לא ברור לי למה המהירות היחסית היא 0

אם היא שווה והכיוון מנוגד המהירות היחסית צריכה להיות כפולה מהמהירות של כל אחד, אבל אולי לא הבנתי.

 

[phobos]

אני נכנע

השאלה הזו מאוד מטרידה. מצד אחד החיכוך צריך להיות בדיוק 4I/R*R אחרת הגלגלים יהיו הגלגול עם החלקה, מצד שני זה אומר שהחיכוך יהיה קבוע - גם אם מאסת המכונית קטנה, כלומר בלי קשר לכח הנורמלי. זה נראה כמו נתון מיותר אבל מצד שני יש נתון חסר, והוא מהירות הסילון ביחס למכונית (שאיננו אפס כי אז לא תיתכן התקדמות). אני חושד שיש קשר בין שניים, אבל אני לא רואה מהו.

 

[phobos]

כיוון

נכון שמצאת את החיכוך ע"י תאוצת הגלגלים. תחשוב על התזת טיפת מים כעל תהליך רגעי שבו גוף שמאסתו M-dm נפרד מגוף שמאסתו dm. שניהם נעו במהירות משותפת V ואח"כ לגוף הגדול מהירות V+dV ולקטן מהירות V-v. כך תמצא משוואה שאתה יכול לחלק ב-dt ולראות מה השינוי בתנע עקב תהליך הפרידה.

 

[AnarchistPhilosopher]

אני עדיין לא יודע איך למצוא את המהירות היחסית

נתון שהתאוצה קבועה של המכונית, לכן היא נוסעת במהירות at, וכפי שאמר ניב, המהירות היחסית היא 2at-. אבל גם אז המשוואה הדיפרנציאלית לא הגיונית, יוצא לוגריתם של זמן, מ-0 עד t שמתבדר כמובן. התנע הראשוני הוא אפס כי הוא מתחיל באפס, התנע אח"כ הוא m(t)-dm(V+v)zz התנע של זרנוק המים:

dm)(V-v) |Xקוד| נקבל ש

dp/dt=dm/dt(-2v)+m(t)dv/dt​

כמו שאמראתי זה לא עוזר בהרבה.​

 

[phobos]

רק רגע

לפי האנרגיה הכובדית שהכנסת נראה שחשבת שהמסה הנקודתית נופלת מלמעלה - אם היא נופלת מלמעלה למה שהמוט בכלל יסתובב? הוא יצטרך לעבור דרך המשטח! יותר הגיוני שגם הנאסה נעה על המשטח חסר החיכוך ואז יש לך 3 משוואות (שימור תנע, אנריה ותנע"ז) וכן את מומנט ההתמד של מוט ו-4 נעלמים (I,w,V,x). אני קיבלתי תוצאה כזו: x=(ML/6m)*sqrt((3m/M)(1-m/M)) xxxx כך שהתנאי לקיום הוא M>m, מה שנראה לי תנאי סביר.

 

[niv1990]

המנה בין התוצאות שלנו היא שורש 2 ../images/Emo13.gif

אני מנחש שזה L=2R.

 

[niv1990]

טעות שלי (1/12ML^2, לא R^12) ../images/Emo163.gif

 

[AnarchistPhilosopher]

אתה יכול לרשום את המשוואות שיצאו לך?

כמו שאמרתי יש שימור תנע קווי: mv=MV, שימור תנע זוויתי: mvh=Iw. ושימור אנרגיה: mg(L/2-h)+mv^2/2+MgL/2=MV^2/2+Iw^2/2 אתה אולי מתכוון לאיבר הראשון mg(L/2-h)zz, אבל לכדור יש גם אנרגיה פוטנציאלית לפני הפגיעה, כמובן זה יכול להיות אפס אם הוא נע על המשטח שבו נמצא המוט, אבל צריך למצוא את זה, לא כך? אני לא ממש מבין איך מצאת את המשוואה, אולי פשוט תגיד לי מה לא נכון במה שרשמתי במשוואות, ומה צריך לתקן? תודה מראש.

 

[AnarchistPhilosopher]

המסה הנקודתית נעה במאונך למוט, בכוון אופקי,

בגובה L/2-h מעל המשטח שבו נמצא המוט, למה לא צריך לקחת בחשבון את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית פה ביחס למשטח?

 

[niv1990]

נסיון

משתמשים במשפט שאומר שבהתנגשות אלסטית המהירות היחסית זהה (עד כדי סימן). האנרגיה ההתחלתית היא E1=mV1^2/2 נניח שהמצב אכן קורה, היא שווה לאנרגיית מהירות הקווית+המהירות הזוויתית. קווית: mV1=Mu2 u2=mv1/M זוויתית: w*r=v1-u2 (השונו את המהירות הזוויתית של הנקודה למהירות של המסה פחות המהירות הקווית בתקווה שחוק המהירות היחסית תקף גם לגבי מיהורת יחסית

). w=v1(1-m/M)/R Z ישור שורה עכשיו נציב באנרגיות ונקווה שהכל יהיה בסדר (צריך הרבה תקווה כשמסתמכים על משפטים שלא בטוח שהם תקפים

). mV1^2/2=Iw^2/2 נציב: R=L/2 mv1^2=(1/24)ML^2*v1^2(1-m/M)/R^2 z ישור שורה m=(1/24)L^2(1-m/M)/R^2 z ישור שורה R=sqrt((1/24)L^2M(1-m/M)/m) z ישור שורה קצת אלגברה: R=Lsqrt((1/24)*(M/m-1)) z ישור שורה אם לא עשיתי שטויות עד כה, התנאי שלנו נובע ישירות מתחום ההגדרה של R: אם אנחנו לא רוצים רדיוס מרוכב (

) אז כדאי ש: M/m>o M>m כדאי שמישהו פה יעבור על מה שעשיתי...

 

[AnarchistPhilosopher]

איך מ-M/m>0 נובע ש-M>m לא יכול להיות ש

M/m<1?

 

[niv1990]

טעות בהעתקה:

M/m-1> אפס - מה שרשום בתוך השרש.

 

[AnarchistPhilosopher]

אני לא מבין למה השמטת את האנרגיה הפוטנציאלית

בהתחלה של המוט רגע לפני ההתנגשות, ואיפה שימוש בשימור תנע זוויתי.

 

[niv1990]

אם הבנתי מה שאתה שואל:

פשוט הנחתי מערכת צירים על המוט, ואת המהירות של הגוף ביחס אליו כv1 רגע לפני הפגיעה. איזו אנרגיה פוטנציאלית צריכה להיות בו? אני הבנתי את זה כאילו מאונכת הכוונה לאנך שהוא גם מקביל לקרקע, ולכן אין כבידה. אולי שרטוט יעזור. השתמשתי בשימור תנע רגיל לקבל את המהירות הקווית של המוט, בהתנגשות אלסטית |v2-v1|=|v1-v2| על המסה m ונק' הפגיעה שמוכיחים אותה באמצעות שימור תנע ואנרגיה (יכול להיות שבשביל ההוכחה עבור המקרה הזה משתמשים גם בתנע זוויתי) כדי לקבל את המהירות הזוויתית שנדרשת "להשלים" בשביל שהמהירות של נק' הפגיעה תיהיה שווה למהירות הגוף לפני הפגיעה. חישבתי בעזרת שימור אנרגיה באיזו נקודה האנרגיה שנותרה מהמהירות הקווית תיהיה שווה לאנרגיה של התנועה הזוויתית לתדירות זוויתית הנדרשת, ועכשיו אני רואה שאולי עשיתי פה שגיאה קטנה, וכתבתי את v1 במקום את וu2 (כשכותבים את u2 בעצם אפשר לנסח תהליך ראשון של העברת תנע קווי ושני של מהירות זוויתית, ועם u2 כמהירות שנותרה לאחר העברת התנע כל האנרגיה מתגלגלת לזוויתית). mV1^2/2=Iw^2/2 צריך להיות: mV1^2/2=Iw^2/2+Mu2^2/2 או: mu1^2/2=Iw^2/2 כשמבטאים את w עם u2, אבל למזלי זה מצטמצם בכל מקרה ופשוט בחלק האחרון כל פעם שכתבתי v1 זה בעצם u2 (וכמובן 1/12 כמו שעשה phobos ולא 1/24 כמו שכתוב אצלי).

 

[AnarchistPhilosopher]

המוט עומד על משטח חלק, החלקיק הנקודתי

פוגע אופקית בו הזווית בין הגוף הנקודתי למוט בזמן הפגיעה שווה ל-90 מעלות זו הכוונה בפוגע בו אנכית, לכן בהתחלה האנרגיה שווה לאנרגיה הקינטית של הגוף הנקודתי והאנרגיה הפוטנציאלית של המוט שהיא MgL/2, אני לא כ"כ מבין מה חשבת שזה אמור להיות?

 

[AnarchistPhilosopher]

הנה המבחן שממנו לקוחה השאלה:

http://physics.tau.ac.il/physics/bsc/1/1118/exams/mech00a.pdf