הוכחת מכפלה
- פותח הנושא ori 15
- פורסם בתאריך
איגור קרסיק
New member
עיין בוקבץ המצורף
elad556677
New member
שאלה !
בקובץ שנתת עבור ההוכחה אמרת שניתן להוכיח באינדוקציה , כיצד ? הרי לא צוין ש N מספר טבעי , וגם אם N לא מספר טבעי האם ניתן להוכיח טענה באופן חלקי עבור מספרים טבעיים , שלמים , כל פעם עבור קבוצה אחרת של מספרים , ומה אומרים במקרה כזה על הטענה ועל ההוכחה ?
בקובץ שנתת עבור ההוכחה אמרת שניתן להוכיח באינדוקציה , כיצד ? הרי לא צוין ש N מספר טבעי , וגם אם N לא מספר טבעי האם ניתן להוכיח טענה באופן חלקי עבור מספרים טבעיים , שלמים , כל פעם עבור קבוצה אחרת של מספרים , ומה אומרים במקרה כזה על הטענה ועל ההוכחה ?
אני אסביר בשבילו 
היי אלעד. ובכן, אכן לא צוין, אבל הכוונה ברורה מההקשר. הוא מתחייס לסכום של קיי מ2 עד אן. מה שהוא עושה זה לבדוק את כל המכפלות החלקיות, כלומר לכל אן טבעי גדול או שווה מ2, מהי המכפלה של הביטוי כאשר רצים מ2 ועד אן. אז התוצאה היא השאפה של מה שקיבלנו לאינסוף. זו ההגדרה של מכפלה מהסוג הזה. מסתכלים תמיד רק על טבעיים. הרי מה המשמעות של מכפלה מ2 ועד 5.5 של ביטוי כלשהו? אין משמעות. אז אנחנו מדברים על מספרים טבעיים, ולא על כולם, אלא אל מספרים טבעיים גדולים או שווים מ2. אינדוקציה תקפה למקרה כזה. כדי להוכיח אינדוקטיבית שטענה נכונה לכל המספרים הטבעיים החל ממספר מסויים n0, תוכיח את המקרה הפרטי n0, כמו שהיית מוכיח ל1 באינדוקציה רגילה, ותוכיח את צעד האינדוקציה כמו שהיית מוכיח באינדוקציה רגילה, כאשר מותר לך להניח, גם, שהמספר שאתה מוכיח לגביו גדול מn0. כדי להוכיח משהו על כל המספרים השלמים, אפשר להשתמש באינדוקציה בהרבה דרכים. אפשר למשל, להוכיח על כל הטבעיים באינדוקציה, ואז להוכיח שאם מספר מקיים את הטענה, גם המספר הנגדי לו מקיים אותה, וגם להוכיח ש0 מקיים. אפשר, גם, להראות ש0 (או כל מספר שלם אחר, לצורך העניין) מקיים את זה, ולהראות, כצעד האינדוקציה, שאם מספר מקיים את הטענה, לא רק המספר הבא אחריו מקיים, אלא גם המספר הקודם לו מקיים את זה. אפשר גם להוכיח טענות על כל הרציונליים, על כל הממשיים, ועל כל המרוכבים, כאשר בהרבה חלקים של ההוכחה נשתמש באינדוקציה. אם לומר משפט כללי, אינדוקציה מאפשרת, באופן ישיר, הוכחת טענות לגבי קבוצה של מספרים שהיא אינדוקטיבית, כלומר קבוצת מספרים שיש לה איבר "ראשון", ושכל איבר בקבוצה, אפשר להגיע אליו ע"י מספר סופי של פעולות "האיבר הבא". קבוצת המספרים הטבעיים היא דוגמא לכזאת קבוצה כאשר ה"איבר הראשון" הוא 1 ו"האיבר הבא" זו הפעולה של להוסיף 1. שים לב שכל מספר טבעי, גם גדול מאוד, אפשר להגיע אליו אם מתחילים מ1, ומוסיפים 1 מספר סופי של פעמים. וכמו שאמרתי, אפשר להשתמש באינדוקציה באופן עקיף (כלומר, בשילוב עם טכניקות אחרות, או כל-מיני וריאציות על אינדוקציה קלאסית) כדי להוכיח טענות על מגוון רחב של קבוצות לא אינדוקטיביות (כמו המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים, המרוכבים, ושאר קבוצות)
היי אלעד. ובכן, אכן לא צוין, אבל הכוונה ברורה מההקשר. הוא מתחייס לסכום של קיי מ2 עד אן. מה שהוא עושה זה לבדוק את כל המכפלות החלקיות, כלומר לכל אן טבעי גדול או שווה מ2, מהי המכפלה של הביטוי כאשר רצים מ2 ועד אן. אז התוצאה היא השאפה של מה שקיבלנו לאינסוף. זו ההגדרה של מכפלה מהסוג הזה. מסתכלים תמיד רק על טבעיים. הרי מה המשמעות של מכפלה מ2 ועד 5.5 של ביטוי כלשהו? אין משמעות. אז אנחנו מדברים על מספרים טבעיים, ולא על כולם, אלא אל מספרים טבעיים גדולים או שווים מ2. אינדוקציה תקפה למקרה כזה. כדי להוכיח אינדוקטיבית שטענה נכונה לכל המספרים הטבעיים החל ממספר מסויים n0, תוכיח את המקרה הפרטי n0, כמו שהיית מוכיח ל1 באינדוקציה רגילה, ותוכיח את צעד האינדוקציה כמו שהיית מוכיח באינדוקציה רגילה, כאשר מותר לך להניח, גם, שהמספר שאתה מוכיח לגביו גדול מn0. כדי להוכיח משהו על כל המספרים השלמים, אפשר להשתמש באינדוקציה בהרבה דרכים. אפשר למשל, להוכיח על כל הטבעיים באינדוקציה, ואז להוכיח שאם מספר מקיים את הטענה, גם המספר הנגדי לו מקיים אותה, וגם להוכיח ש0 מקיים. אפשר, גם, להראות ש0 (או כל מספר שלם אחר, לצורך העניין) מקיים את זה, ולהראות, כצעד האינדוקציה, שאם מספר מקיים את הטענה, לא רק המספר הבא אחריו מקיים, אלא גם המספר הקודם לו מקיים את זה. אפשר גם להוכיח טענות על כל הרציונליים, על כל הממשיים, ועל כל המרוכבים, כאשר בהרבה חלקים של ההוכחה נשתמש באינדוקציה. אם לומר משפט כללי, אינדוקציה מאפשרת, באופן ישיר, הוכחת טענות לגבי קבוצה של מספרים שהיא אינדוקטיבית, כלומר קבוצת מספרים שיש לה איבר "ראשון", ושכל איבר בקבוצה, אפשר להגיע אליו ע"י מספר סופי של פעולות "האיבר הבא". קבוצת המספרים הטבעיים היא דוגמא לכזאת קבוצה כאשר ה"איבר הראשון" הוא 1 ו"האיבר הבא" זו הפעולה של להוסיף 1. שים לב שכל מספר טבעי, גם גדול מאוד, אפשר להגיע אליו אם מתחילים מ1, ומוסיפים 1 מספר סופי של פעמים. וכמו שאמרתי, אפשר להשתמש באינדוקציה באופן עקיף (כלומר, בשילוב עם טכניקות אחרות, או כל-מיני וריאציות על אינדוקציה קלאסית) כדי להוכיח טענות על מגוון רחב של קבוצות לא אינדוקטיביות (כמו המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים, המרוכבים, ושאר קבוצות)
elad556677
New member
תודה רבה על ההסבר../images/Emo51.gif
עכשיו הכל מובן .
עכשיו הכל מובן .
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.