שאלה במכניקה.

[AnarchistPhilosopher]

שאלה במכניקה.

טבעת קשיחה ודקה בעלת רדיוס a ומסה m נמצאת על מישור אופקי. המתיחות המקסימלית המותרת מבלי שהטבעת תקרע היא T0. א) חשב מהי המהירות הזוויתית המקסימלית בה ניתן לסובב את הטבעת סביב ציר הניצב למישור הטבעת ועובר דרך מרכזה מבלי שהטבעת תקרע. ב) מחליפים את הטבעת הקשיחה בטבעת קפיצית בעלת קבוע כוח k. מעלים בהדרגה את מהירות הסיבוב כתוצאה מהסיבוב נמתחת הטבעת ורדיוסה גדל ומתייצב. חשב בכמה יתארך רדיוס הטבעת כאשר המהירות הזוויתית היא w? המסה והרדיוס ההתחלתי זהים לאלו שבסעיף הקודם. ג) מהי המהירות הזוויתית המקסימלית בה ניתן לסובב את הטבעת כך שרדיוסה יישאר קבוע וסופי. ובכן את א' עשיתי, ואני מסתבך ב-ב', בעיקרון יש לנו שוויון בין הכוח הוק של התארכות הקפיץ, והכוח הצנטריפטלי. עכשיו חשבתי לנסח את הכוחות ע"י אינטגרלים כלומר אנו מסכמים את כל התרומות של כל הקפיצים הקטנים בתוך הטבעת, לשם כך רשמתי d=k/(2pi*r)dd שזוהי צפיפות קווית של קבוע הקפיץ, עכשיו נותר לסכם את כל התרומות הקטנות של הטבעת, כלומר להשתמש באינטגרל. בגדול זה נראה לי משהו כזה:

∫mw^2dx=∫d*xdx​

עכשיו אני מסתבך בהצבת הגבולות של האינטגרל, נראה לי שהאיבר משמאל זה הולך מ- a עד הרדיוס הסופי. והאינטגרל הימני, מ- 2pi*a עד 2pi*r כאשר r הוא הרדיוס הסופי, הסתכלתי אבל בתשובה הסופית בספר והתשובה שונה. לכן אני מבין שזה לא נכון? למישהו יש עצה כיצד לפתור את הבעיה הזו? תודה מראש.

 

[טל ר]

נסה אחרת

קח אלמנט זויתי בטבעת בעל זוית a. פועלים עליו שני כוחות, אחד המתיחות מהאלמנט המצוי לימינו והשני מהאלמנט המצוי לשמאלו. משיקולי סימטריה שקול הכוחות של שניהם הוא בכיוון מרכז המעגל, חשב מה הוא יהיה כתלות ב-a ובמתיחות. השווה את זה לכוח הצנטרפיטלי, ועכשיו תשאיף את a ל-0.

 

[קורן בן אשר]

אתה מסתבך לחינם

נניח שאתה מקפיא את מצב הטבעת ברגע נתון, וחוצה אותה לשני חצאים. עכשיו הסתכל טוב על "חצי" כזה.נגדיר את כיוון הקצוות X ואת כיוון המיתר המחבר ביניהם (הקוטר) Y. מובן שX ניצב ל-Y. על כל אלמנט מסה פועל כוח צנטריפטלי בכיוון המרכז, כאשר הרכיב שפונה בכיוון X פרופורציונלי בדיוק להיטל של אורך האלמנט בכיוון Y. סך הכוח בכיוון X שווה לפיכך לצפיפות האורכית של הטבעת כפול הקוטר כפול ZZ w^2*a ZZ , ואת זה רואים מיד בלי שום אינטגרל. כוח זה צריך להיות שווה לפעמיים המתיחות ומכאן מייד נובע ZZ T=m*w^2*a/2/pi ZZ (עד כדי קבוע הנובע מכך שאני כותב את התשובה תוך כדי אכילת ארוחת ערב). לגבי ב. השאלה מנוסחת בצורה לא טובה (בלשון המעטה). K הוא גודל מימדי המקושר ישירות לקפיץ נתון. מדוע? כי ברור שאם ניקח קפיץ דומה רק ארוך פי שניים ( למשל נחבר שני קפיצים זהים בטור) K החדש יהיה חצי מקודמו. מכאן, אין דבר כזה "צפיפות קווית של קבוע הקפיץ". אם רוצים באמת לעבוד עם גודל לא מימדי משתמשים במודול יאנג, שמקשר בין מאמץ לבין עיבור. מכאן אני מסיק כי כוונת המשורר היא שהטבעת עשויה מקפיץ לינארי שאם תפתח אותו ותשים עליו משקולת תמדוד קבוע קפיץ K. בהינתן שזה נכון, כל מה שנותר הוא לכתוב את הביטוי למתיחות הקפיץ כפונקציה של הרדיוס החדש- ZZ F=2*pi*K*(R-a) ZZ, להשוות לתוצאה שקיבלת בסעיף הקודם, ולחלץ את הרדיוס החדש.

 

[AnarchistPhilosopher]

תודה, אני אנסה ליישם את הדרכים שהצעתם.

בכל אופן יש לי עוד שאלה: שני כדורים קטנים בעלי מסות M1,M2 מחוברים לקצות מוט קשיח שמסתו זניחה. מחברים את המוט לציר המרוחק מהכדורים l1,l2 ומביאים אותו למצב אופקי. עוזבים את המוט ממצב מנוחה. חשב את המהירות הזוויתית של המערכת כאשר המוט יוצר זווית a ביחס לאופק וחקור את המקרה בו המוט חולף דרך האנך. הנסיון שלי לתשובה, מצאתי את מרכז המסה מהציר (בהנחה ש-M2l2>M1l1), מרחק זה שווה לרדיוס הסיבוב של המרכז סביב הציר, עכשיו משיקולי כוחות הרכיב האנכי של הכוח הצנטריפטלי שווה למשקל של כל המערכת. עכשיו אני חושב שהרכיב האופקי של הכוח הצנטריפטלי של המערכת שווה למסה הכוללת כפול התאוצה המשיקית של מרכז המסה. כלומר אני מקבל את הנוסחאות:

mw^2Rsin(a)=mg mw^2Rcos(a)=mdw/dtR​

עכשיו הזווית a משתנה עם הזמן כך שיוצא לי אינטגרל של 1 חלקי טנגנס זווית שגם כן משתנה עם הזמן, אני די בטוח שזה לא נכון, אז איפה בדיוק יש לי טעות?

 

[AnarchistPhilosopher]

m כאן היא המסה הכוללת של כל המערכת.

 

[טל ר]

למה לא לעשות עם שיקולי אנרגיה?

כל מה שנשאר זה mgh = 1/2*I*w^2

 

[AnarchistPhilosopher]

לא נתון הגובה ההתחלתי.

 

[טל ר]

דווקא נתון

אמרת שהם מתחילים ממצב מאוזן - בחר באופן שרירותי מישור ייחוס כך שהאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית בהתחלה תהיה 0.

 

[AnarchistPhilosopher]

ואז המרחק עד הנחיתה שווה ל- gt^2/2.

אבל עדיין לא נתון כמה זמן ארכה הנפילה הזו. נ.ב אנו גם לא יודעים כיצד הגוף ינחת, למשל אם הגוף נוחת במאונך למישור אז מרחק הנפילה עצמו שווה למרחק אילו הגוף היה נופל במאוזן פחות האורך של המוט.

 

[AnarchistPhilosopher]

בעצם עזוב, הנ.ב אינו נכון.

 

[טל ר]

אנרגיה, לא כוחות

כך שאם מרכז המסה מרוחק מרחק R מהציר, אז אחרי זוית a הוא הפסיד אנרגיה פוטנציאלית כובדית של M1+M2)g sin a), שכולה הפכה לאנרגיה קינטית, וערכה 1/2I w^2. אין צורך ב-1/2gt^2

 

[AnarchistPhilosopher]

שכחת R באנרגיה הפוטנציאלית.

טוב, הבנתי. אז עכשיו מבחינה חישובית. מומנט האינרציה כאן הוא זה שעובר דרך הציר נכון? כדי לחשב אותו:

I=M1l1^2+M2l2^2​

זה נכון?

 

[טל ר]

../images/Emo45.gif בדיוק (כולל לגבי זה ששכחתי R)

 

[AnarchistPhilosopher]

אני מצטער שאני מעמיס את הפורום בשאלות...

אבל אני מתכונן למבחן במכניקה. יש לי עוד שתי שאלות שצצו להן: 1.מוט אחיד באורך l ומסה m רתום בקצהו ומסתובב כמטוטלת קונית כשהוא יוצר זווית תטא עם האנך. מה גודלו של הכוח הצנטריפוגלי ומאיזו נקודה פועל כוח זה? 2. חצי כדור מלא, שרדיוסו a מונח על מישור אופקי ומבצע תנודות קטנות. הוכח שזמן המחזור של התנודות שווה לזמן מחזור של מטוטלת מתמטית שאורך החוט שלה הוא l=4a/3. ובכן, בקשר ל-1 התשובה בספר היא

mw^2lsin(θ)/2​

ממרחק 2l/3 מהציר, אבל מהנוסחא הראשונה נובע שהוא דווקא פועל ממרכז המוט. בקשר לשלאה הראשונה בעיקרון חשבתי להסתכל על הבעיה כבעיה של מטוטלת פיזיקלית, כאשר הנוסחא לזמן המחזור שלה הוא:

2πsqrt((I_c+Mb^2)/Mgb)​

כאשר I_c הוא המומנט של החצי הכדור, וb הוא המרחק של מרכז החצי כדור מהציר שסביבו מתרחשות התנודות עכשיו נראה לי שמרכז החצי כדור מהמרכז של הכדור השלם הוא a/2, אבל כנראה שזה לא נכון או שהחישוב של מומנט האינרציה אינו נכון, זה אמור להיות

I=2mr^2/5​

אולי לא צריך להשתמש בנוסחא הזו. תודה מראש.

 

[obafgkml]

תגובה

לגבי השאלה הראשונה: תסמן חלק אינפ' של מסה מהמוט בדי אם, תסמן את המרחק מנק' האחיזה באיקס. לכן מרחק החלק הוא איקס סינוס טתה, לכן ה"כוח הצנטרפוגלי" האינפ' שפועל על החלקיק הוא חלק אינפ' של מסה כפול איקס סינוס טתה כפול אומגה בריבוע. חלקיק אינפ' של מסה שווה לחלקיק אינפ' של איקס כפול הצפיפות. עושים אינטגרל לפי איקס ותקבל ביטוי עם צפיפות תחליף את הצפיפות במסה חלקי אורך ותקבל את התשובה. לגבי החלק השני של השאלה כלומר מאיזה נקודה מתחיל לפעול הכוח אני לא בדיוק מבין אותה, כפי שאני רואה את זה כל נקודה במוט מרגישה כוח צנטר' אך בעוצמה שונה.

 

[yoni162]

עוד שאלה

השאלה די פשוטה, אני פשוט לא מבין מה אני מפספס (כנראה). גולה מתגלגלת במהירות 5 מטר/שניה מן הקצה העליון של גרם המדרגות. רוחב וגובה כל מדרגה הוא 20 ס"מ. באיזו מדרגה תפגע הגולה ראשונה? יצא לי שהמרחק שהגולה תעבור עד שתנחת הוא 1.01 מטר, כלומר 5 מדרגות (תנחת בשישית). ד"א, אם מישהו מכיר פורום שמיועד לשאלות ותרגילים אני אודה לו..

 

[obafgkml]

השאלה ממש לא ברורה

מה זאת אומרת באיזה מדרגה תפגע ראשונה, אם היא מתגלגלת עליהם מלמעלה היא נופלת פוגעת בראשונה אחר כך בשניה וכו', אתה יכול לנסח אתה השאלה מחדש?

 

[yoni162]

ניסוח

ניסיתי להעלות ציור אבל תפוז עושים בעיות..היא נמצאת על המדרגה הראשונה בגרם המדרגות, אבל היא מתחילה את התנועה שלה במהירות 5 מטר/שניה..זאת אומרת שזאת זריקה אופקית בזווית של 0 מעלות במהירות התחלתית של 5 מ/ש'..השאלה היא על כמה מדרגות היא תדלג עד שהיא תנחת על אחת מהן..

 

[yoni162]

אוקי לא משנה הבנתי

 

[obafgkml]

25

?