שאלה על הלכה

[מפענח התעלומות]

רק תעלומה אחת נותרה לפענוח:

למה בכלל יש משהו, במקום שלא יהיה כלום? זאת השאלה האמיתית

 

[מפענח התעלומות]

על: אור מסה עיקום-המרחב ותיאוריה מתמטית כוללת

אתה כותב: "עד כמה שאני יודע - בשביל ניוטון כל דבר (חוץ מהמרחב והזמן (A)) נמשך למסה".
לא מדוייק: בשביל ניוטון, כל דבר בעל-מסה - נמשך למסה.

אתה כותב: "יכול להיות שניוטון לא החשיב את האור כמשהו שיכול להימשך למסה בגלל שהוא מיוחד".
לא מדוייק: ניוטון רק חשב, שלאור אין מסה (ולא רק שאין לו מסת-מנוחה), וזה אגב קשור למחשבתו השגויה של ניוטון - שמהירות האור היא אינסופית.

אתה כותב: "גם לפי התיאוריה שלו, אפשר לקבל שהאור מושפע מהמסה".
לא מדוייק, שהרי - הואיל ולדעת ניוטון אין לאור מסה - אז ממילא הוא לא יכול להימשך למסה.

אתה כותב: "ולא צריך ללכת עד כדי עיקום המרחב".
אולי תסביר לי, איך - בלי עיקום המרחב - אצליח להסביר את עיקום קרן האור ליש השמש, אם אני חושב - שלאור אין מסה - ושרק דבר בעל-מסה נמשך למסה?

אתה כותב: "איינשטיין גם לא יוכל להסביר - עד כמה שאני יודע - למה המרחב מתעקם ליד מסה".
כבר הבהרתי לך שזו התכונה הפנימית של המסה: לעקם את המרחב. האם אתה יודע להסביר למה הזמן זורם? ובכן, הזמן זורם - כי זו התכונה הפנימית של הזמן - לזרום. אז אותו דבר עם המסה: זו התכונה הפנימית של המסה - לעקם את המרחב. אתה יודע מה? הבה נעשה עסק: אתה תסביר לי למה הזמן זורם, ואני אסביר לך למה המסה מעקמת את המרחב. הולך?

אתה כותב: "המסה צריכה אגב להיות עקומה".
אני יודע מה פירוש המושג "מרחב עקום", או "צורה עקומה", אבל מה פירוש המושג "מסה עקומה"? עיקום היא תכונה גיאומטרית, בעוד שהמסה - היא תכונה חומרית - לא גיאומטרית.

אתה כותב: "ואני לא מאמין שיש חומר 'מוצק' בכלל ושהכל זה 'אנרגיה' עם כוחות דחייה משיכה".
אתה בעצם אומר דבר די דומה אל מה שאמר איינשטיין, כשקבע את נוסחת שקילותה של המסה לאנרגיה. אגב: כזכור, זה היה הנושא המקורי שבו נפתח הדיון בינינו, אבל משום מה הוא מתגלגל כעת לנושאים שהתגלגלותו אליהם לא נצפתה על ידיי מראש.

אתה כותב: "אז אין סיבה לקבל את עיקום המרחב".
בלי עיקום המרחב, ובהנחה שלקרן האור אין מסה, איך תסביר את התעקמות קרן האור ליד השמש?

אתה כותב: "בין אם המרחב עצמו מתעקם - לבין אם המסה עצמה היא שמושכת את הקרן - זה יראה אותו דבר".
אבל כדי שמסה תמשוך את הקרן, הקרן חייבת להיות בעלת מסה: זה הרי כל הבסיס של תורת המשיכה של ניוטון, שמסה מושכת מסה, באופן שאפילו ניתן לחישוב מראש, ובלבד שיודעים מראש - את כמות המסה המושכת - ואת כמות המסה הנמשכת. יש רק בעייה אחת: ניוטון חשב שלקרן אין מסה, ודבר דומה - אנחנו יודעים גם היום: שלקרן אין מסת-מנוחה.

אתה כותב: "וזה על רקע ספיציפי מאוד של 'הוכחה'...לדוגמה (A), ובשביל איינשטיין כנראה מדובר במימדים לא מופרדים".
לא הבנתי מה הקשר בין זה לבין מה שטענת מקודם.

אתה כותב: "לצורך דיוק והבהרה: מהירות האור קבועה, בריק או בחומר. ובחומר כנראה לוקח לגל לצאת יותר לאט משום שהוא נתקל במולקולות והגל נהרס ונבנה - גורם לאלקטרונים לזוז (וגם מחמם) ואלה פולטים פוטונים".
האמנם אתה בטוח שאתה מתכוון לתאר מצב שבו פוטון פוגע באטום וגורם לאלקטרון לזוז משם ולפלוט פוטון (כפי שאני מתרשם מהתיאור שאתה מתאר כאן)? או שמא אתה מתכוון אולי לאפקט הפוטו-אלקטרי - שזה אגב משהו קצת שונה? על כל פנים: זה שאלקטרון יכול לקלוט פוטון, וכך לשנות - את האנרגיה שלו - וממילא גם את המהירות שלו, זו תופעה ידועה ומתועדת היטב. לא ברור לי האם על זה אתה שואל, ואם אכן על זה אתה שואל - אז לא ברור לי מה השאלה.

אתה שואל: "מישהו אמר לי שרוב האור שאנחנו רואים זה לא אותן קרניים מהשמש אלא כאלה שנפלטו בכלל מהמולקולות בדרך".
אולי הוא התכוון לאפקט-החממה, אבל האפקט הזה אחראי דווקא על קרינה בלתי נראית (קרניים אינפרה-אדומות) - שלא כפי שציינת בשמו של אותו אדם. על כל פנים, זה נכון - שבלעדי האפקט הזה, הטמפרטורה בתל אביב למשל - הייתה כעת מתחת לנקודת הקיפאון - למרות קרינת השמש.

אתה שואל: "נניח שאור אמור להפלט מתוך חור שחור, למשל אם יתפוצץ איזה משהו באופק האירועים, האם הפוטון שבתחילה ינסה לצאת אך תכף ומיד ימשך פנימה, יאט את מהירותו עד כדי 0 ואז יאיץ 'פנימה' לתוכו?"
לא, כי האור לא יכול לשנות את מהירותו. מה שיקרה, זה שצבעו של האור הנפלט - ילך ויכהה, מהכיוון של הצהוב הבהיר - עד לכיוון של האדום הכהה - ומשם לשחור הבלתי נראה. מה שישתנה אפוא - זה לא המהירות - אלא זה הצבע, וממילא גם התדירות, והאנרגיה, והתנע (וממילא גם המסה - שכאמור היא אינה מסת-מנוחה כי הרי לקרן אין מסת-מנוחה): כל אלו ילכו ויקטנו עד שיתאפסו לחלוטין, באופן שכבר לא יהיה ניתן לדבר עוד על "אור", שהרי - לכל אור - יש מידה מינימלית של תדירות/אנרגיה/תנע. אם אין לו כלום, אז במה הוא אור?

אתה כותב: "ואולי בוריאציה אחרת: אם מסה משפיעה על פוטונים היא הייתה אמור להאט אותם (ולא רק לשנות את כיוון תנועתם)".
לא בהכרח: מסת השמש גורמת לכדור-הארץ לשנות כל רגע את כיוון התנועה - מכיוון ישר (שזה מה שהיה אמור להיות לולי קיומה של השמש ושל שאר הכוכבים בסביבה) - לכיוון מעגלי (כלומר משתנה), וזאת מבלי להאט את מהירות תנועתו של כדור הארץ. לגבי קרן האור, זה תלוי מה כיוון תנועתה: אם הוא ניצב לקו הדמיוני המחבר בין השמש לבין קרן האור, אז קרן האור פשוט תתעקם - ללא שינוי נוסף - לפחות עד הרגע שבו כיוון תנועתה יפסיק להיות ניצב לקו הדמיוני הנ"ל. מאידך, אם כיוון תנועתה של קרן האור מקביל לקו הדמיוני הנ"ל, אז צבעה של קרן האור ילך ויכהה, מהכיוון של הצהוב הבהיר - עד לכיוון של הסגול הכהה. מה שישתנה אפוא - זה לא המהירות - אלא זה הצבע, וממילא גם התדירות, והאנרגיה, והתנע (וממילא גם המסה - שכאמור היא אינה מסת-מנוחה כי הרי לקרן אין מסת-מנוחה): כל אלו ילכו ויגדלו, כלומר יקרה להם משהו הפוך מזה שתיארתי בפיסקה הקודמת.

אתה כותב: "פה אולי יש חיזוק לאיינשטיין על ניוטון, בזה שעיקום המרחב מסכים לשינוי כיוון בלי צורך בשינוי המהירות".
למעשה, גם ניוטון היה יכול להסיק שלא יהיה שינוי במהירות, אילו ידע שמהירות האור קבועה, ושלאור יש מסה (אמנם לא מסת-מנוחה, אבל מסה).

אתה שואל: "אתה חושב שיש תיאורייה כוללת אחת למתמטיקה? חלק דיברו על אלגברה אוניברסאלית, או רדוקציה (במובן של הכללה) ללוגיקה".
אכן כך קיוו - במשך אלפי שנים - עד שנת 1931, אלא שאז באה האכזבה הגדולה ונגוזה התקוה, משהוכח סופית (מתמטית ובאופן גאוני אגב) - שלעולם ועד לא יוכל האדם - אפילו רק לבנות מחשב "צנוע-למדי", שרק יידע להגיב לנו (מבלי לשקר) - ב"נכון" או ב"לא נכון" - על *כל* טענה חשבונית "תמימה" שנציג לו ושתכיל אך ורק את עשרת הסימנים החשבוניים הבאים: סימן האפס, סימן האחד, סימן החיבור, סימן הכפל, שני סימני הסוגריים (), המילה "לא", המילה "או", הביטוי "כל מספר שלם", והביטוי "יש מספר שלם". למשל, טענה תמימה מן הסוג: "לכל מספר שלם ראשון - יש מספר שלם שני, ככה שלכל מספר שלם שלישי - יש מספר שלם רביעי, וכו' וכו', ככה שכל המספרים הנ"ל מתייחסים זה לזה - לפי נוסחת חיבור-וכפל פלונית - המוצגת ברגע זה למחשב". אמנם אפשר לבנות מחשב - שיידע לעשות זאת - לכמות מצומצמת של טענות חשבוניות "תמימות" כאלה, אבל לא מחשב כזה שיידע לעשות זאת לכל הטענות החשבוניות האפשריות מהסוג התמים הנ"ל. כאמור, כל זה הוכח סופית כבר בשנת 1931, ומאז נסתם הגולל על התקוה בת שנות אלפיים לבנות תיאורייה כוללת אחת למתמטיקה, כי כאמור אין תיאוריה כוללת אחת - אפילו רק לתורת החשבון "התמימה" הנלמדת בבתי הספר היסודי (על החיבור והכפל), אם כי יש אגב תיאוריה כוללת כזו לחשבון ה"עוד יותר תמים" של פעולת החיבור לבדה (כלומר בלי הכפל) - שאגב התגלתה ע"י יהודי שנספה בשואה (אם כי ההוכחה לכוללניותה של התיאוריה ההיא - התגלתה רק לאחר מותו).

 

[מני אה]

/

לגבי פוטון שיוצא מפיצוץ באופק האירועים בכיוון מנוגד לחור השחור, למה שהוא לא יאט (עד 0) ויאיץ בכיוון ההפוך, גם אם חלקיק מהסוג שלו לא אמור להיות מתחת למהירות האור. הרי זה גוף שנע במרחב, הפרעה במרחב (ועוד מעט נגיע למהות המרחב שהוא התווך ה*אקטיבי* של הפוטון) אתה יכול לחשוב על סיבה שהוא לא יאט (ואולי יהפך לחלקיק אחר), חוץ מזה שיש חוק לא מוסבר שפוטון לא יכול להאט?
לגבי המרחב פעם שאלתי בפורום Physics forum ואני חייב לומר שאני כבר לא זוכר הרבה מהתשובות שם ולא היה לי מספיק זמן ללמוד את זה כמו שהייתי רוצה (את המרחב). מה שאני כן זוכר זה שהמרחב הוא צמיגי, יש בו גלים, הוא אלסטי. כך שהמסות שנמצאות בתוכו – ואני לא בטוח שהן לא חלק אורגני ממנו כמו שמים שקופאים באזור מסוים בתוך ים הם קרח, משהו אחר מאותו סוג, חלק ממנו- יכולות להיות מושפעות באותו אופן. עיקום במרחב [ייתכן והוא] הוא חומרי. כך למשל – תעלים חור שחור וייתכן שיהיה גל במרחב שיעבור וישפיע על דברים ולא רק "יפסק העיקום של המרחב". אם למשל אלקטרון הוא [גם] גל, ייתכן שכמו פוטון שיש לו רד שיפט בעקבות התפשטות המרחב, גם הוא עובר תהליך כזה. אגב, יכול להיות שההגבלה של מהירות הפוטון קשורה במידת הסמיכות של המרחב. גם צריך לשים לב שיש דברים שאפשר לשער ואי אפשר לדעת. אנחנו לא יודעים אילו תהליכים אנחנו עוברים כרגע. כמו שאם תסתכל בכף ותראה את הפנים שלך נעות בעקמומיות על גבי הכף, אז אם היית "האיש בצד השני" לא היית יודע – אפשר להניח - שאתה נע בעקמומיות. זה היה נראה לך ישר. אם כל היקום היה מתנפח בקצב אחיד, כלומר כל החפצים, כל המרחקים ביניהם, לא היינו יכולים לדעת את זה כי כל הזמן הפרופורציה הייתה נשמרת. --- מה שכן מצאתי ברפרוף באינטרנט גם הערות שהמרחב הוא לא substance ולכן אי אפשר לשייך לו אפילו עקמומיות אלא זו תופעה/אשליה שמסבירים איתה.

אתה מתכוון למשפטי האי שלמות? אי אפשר להכניס אותם לתוך הלוגיקה? הרי הפרוצדורה של גדל ליצירת המשפטים האלה היא מסודרת "אלוגריתמית" (עד כמה שידיעתי משגת). משעה שהיא מסודרת - היא לוגית.

 

[מפענח התעלומות]

תגובה

אתה כותב: "מה שאני כן זוכר זה שהמרחב הוא צמיגי, יש בו גלים, הוא אלסטי. כך שהמסות שנמצאות בתוכו – ואני לא בטוח שהן לא חלק אורגני ממנו כמו שמים שקופאים באזור מסוים בתוך ים הם קרח, משהו אחר מאותו סוג, חלק ממנו - יכולות להיות מושפעות באותו אופן...תעלים חור שחור וייתכן שיהיה גל במרחב שיעבור וישפיע על דברים ולא רק יפסק העיקום של המרחב".
כן, יש תיאוריות כאלה, שאגב מחזירות אותנו (לפחות אסוציטיבית אם לא מהותית) - ל"תיאוריית האתר", זו שהופרכה ע"י ניסוי מייקל מורלי - ניסוי שכידוע סיפק בסופו של דבר את הבסיס האמפירי לבניית תורת היחסות - כתורה חלופית לתיאוריית האתר.

אתה כותב: "יכול להיות שההגבלה של מהירות הפוטון קשורה במידת הסמיכות של המרחב".
הכל בכפוף לתיאוריות הנ"ל.

אתה כותב: "אם למשל אלקטרון הוא [גם] גל, ייתכן שכמו פוטון שיש לו רד שיפט בעקבות התפשטות המרחב, גם הוא עובר תהליך כזה".
המושג רד-שיפט הוא לא לגמרי במקומו - בהקשר של אלקטרון, שהוא כידוע חסר צבע ויזואלי, אבל בהחלט יתכן שיקרה לו משהו שלפחות יזכיר אסוציאטיבית את הרד-שיפט של הפוטון, כלומר התדירות של גל-האלקטרון "תרד" (אפרופו "רד")...

אתה כותב: "גם צריך לשים לב שיש דברים שאפשר לשער ואי אפשר לדעת. אנחנו לא יודעים אילו תהליכים אנחנו עוברים כרגע. כמו שאם תסתכל בכף ותראה את הפנים שלך נעות בעקמומיות על גבי הכף, אז אם היית 'האיש בצד השני' לא היית יודע - אפשר להניח - שאתה נע בעקמומיות. זה היה נראה לך ישר. אם כל היקום היה מתנפח בקצב אחיד, כלומר כל החפצים, כל המרחקים ביניהם, לא היינו יכולים לדעת את זה כי כל הזמן הפרופורציה הייתה נשמרת".
המדע עוסק אך ורק בשינויים-בני-מדידה, כלומר בשינויים כאלה שבהם "הפרופרוציה אינה נשמרת" (אם לנצל את המונח שבו גם אתה השתמשת מהכיוון ההפוך).

אתה כותב: "עיקום במרחב [ייתכן והוא] הוא חומרי".
עיקום הוא תכונה של צורה, לא של חומר.

אתה כותב: "מצאתי ברפרוף באינטרנט גם הערות שהמרחב הוא לא substance ולכן אי אפשר לשייך לו אפילו עקמומיות אלא זו תופעה/אשליה שמסבירים איתה".
דווקא עקמומיות היא לא תכונה של substance אלא תכונה של צורה. לצורה אין substance, אבל ל-substance - יש צורה (לפחות בדרך כלל), ככה שמה שמתעקם זה הצורה, לא ה-substance.

אתה שואל: "אתה מתכוון למשפטי האי שלמות?"
כן, ליתר דיוק: לראשון מבין שניהם: ההוא שאומר את מה שכתבתי לך על בניית מחשב וכו' (שזה אגב ניסוח ברור יותר מאשר הנוסח הדי מורכב של משפט אי-השלמות הראשון של גדל).

אתה שואל: "אי אפשר להכניס אותם לתוך הלוגיקה?"
לא, כי דווקא ללוגיקה יש תכונה הפוכה מזו של המתמטיקה שעליה מדבר משפט אי השלמות הראשון של גדל. זאת אומרת, שאין בעיה לבנות מחשב שיידע לענות ב"כן נכון" וב"לא נכון", על כל טענה לוגית שנציג לו (ליתר דיוק: על כל טענה שתכיל אך ורק סימנים מקרב שבע הסימנים הבאים: שני סימני הסוגריים (), "או", "לא", "יש" "לכל", "דבר").

אתה כותב: "הרי הפרוצדורה של גדל ליצירת המשפטים האלה היא מסודרת 'אלוגריתמית' (עד כמה שידיעתי משגת). משעה שהיא מסודרת - היא לוגית".
לא ברור לי אל מה כוונתך ב"משפטים האלה": לגדל היו בסך הכל שני משפטים: המשפט השני, שאיננו חשוב לענייננו, הוא פסוק אריתמטי שמצפין (באופן מסויים) את הטענה האומרת שלא ניתן להוכיח שהמתמטיקה אינה נגועה בסתירות פנימיות. מאידך, משפט אי-השלמות הראשון של גדל - זה שאליו התכוונתי כאמור - אומר, שאין מערכת אכסיומטית הנושאת בעת ובעונה אחת את ארבע התכונות הבאות: היא אפקטיבית (כלומר ניתנת למיחשוב ע"י יצירת תוכנת-מחשב שתשקף את המערכת הזאת), היא עקבית (כלומר לא ניתן להוכיח מתוכה דבר והיפוכו), היא שלמה (כלומר היא מסוגלת להוכיח - או להפריך - כל טענה חשבונית), והיא מכילה את "אכסיומות פיאנו" (אלו האכסיומות הסטנדרטיות של החיבור ושל הכפל). בטח אתה שם לב שהמשפט הזה קצת מורכב ולא לגמרי נגיש, אז תירגמתי אותו לשפה נהירה יותר, בכך שדיברתי על בניית מחשב שיידע לענות ב"כן נכון" וב"לא נכון" על כל טענה חשבונית מהסוג "התמים" שפירטתי בהודעתי שאליה הגבת. ככה המשפט נהיה מובן יותר.

 

[מני אה]

בעניין האחרון

התכוונתי שעד כמה שאני יודע גדל יכל להראות שהוא יכול לבנות כל פעם משפט או טענה מתמטית חדשה שידוע שהיא נכונה ואי אפשר להוכיח אותה במסגרת האקסיומות. אז אני התכוונתי שאם גדל יודע לעשות כל פעם בנייה של משפט חדש /טענה מתמטית אז יש בזה מן החוקיות.
לפי ויקיפדיה: "המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות *אלגוריתם* טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות.....ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה פורמלית האומרת "לא ניתן להוכיח אותי" (שים לב ל"פורמלי, קונסטרוקטיבי ואלגוריתם." אם יש אלגוריתם יש חוקיות, יש משהו שעל פניו אפשר לקפל לתוך הלוגיקה. לצורך המחשה בלבד משהו שאני יכול להעלות על דעתי: 'אם לוקחים טענה שלא ניתן להוכיח ומוספים אחד בחלק ABC אז הטענה נכונה'. אפשר לומר שהשאלה היא איך זה שבמצב שהוא מסודר אי אפשר להכניס אקסיומה נוספת שיושבת על תהליך ההיווצרות המסודר של הטענות הבלתי יכיחות כך שהן - לא תהיינה יכיחות - אבל מבוססות לוגית-דדוקטיבית. פה בהחלט יכול להיות שכבר צריך את המתמטיקה בשביל להבין - וזה לא ביכולתי.
תודה

 

[מפענח התעלומות]

בהתחלה היצגת גרסה מיושנת יותר של המשפט של גדל

בגירסה הישנה - כפי שהוכיח אותה קורט גדל בשנת 1931, אכן דובר (כלשונך) על כך - שלכל מערכת אקסיומות ניתן לבנות טענה מתמטית חדשה - "שידוע שהיא נכונה" וכו'. אבל בגירסה החזקה והמשופרת יותר, כפי שהוכיח אותה בארקלי רוסר - חמש שנים מאוחר יותר, וכפי שבאמת היא מנוסחת בפיסקה שציטטת מויקיפדיה, כבר לא מדובר עוד על כך - שלכל מערכת אקסיומות ניתן לבנות טענה מתמטית חדשה - "שידוע שהיא נכונה" וכו', אלא מדובר על משהו הרבה יותר דרמטי: שלכל מערכת אקסיומות ניתן לבנות טענה מתמטית חדשה - אשר שאלת נכונותה איננה בהכרח מוכרעת לנו - שכן מוכח שלא הטענה ההיא ולא שלילתה אינן נובעות מתוך האקסיומות (כלומר מוכח שהן לבדן אינן מאפשרות לא להוכיח אותה ולא להפריך אותה).

לגופו של ענין: אכן יש אלגוריתם כזה, שאם הוא קולט מערכת אקסיומות, אז הוא יודע לבנות טענה אשר - למרות שהיא מנוסחת בשפת מערכת האקסיומות - עדין לא הטענה ההיא ולא שלילתה אינן נובעות ממערכת האקסיומות. על כל פנים, לא ברור לי איך מועילה לך העובדה שיש אלגוריתם שקולט מערכת אקסיומות ובונה עבורה טענה חדשה כזו. הרי מדובר בטענה חדשה אשר שאלת נכונותה איננה בהכרח מוכרעת לנו!
אגב, אנחנו מכירים לא מעט טענות כאלה, למשל "השערת קולץ", שאגב אומרת שכאשר תיקח מספר שלם, שעליו תפעיל את האלגוריתם הקובע - שאם המספר זוגי אז תחלק אותו בשתיים - בעוד שאם הוא אי זוגי אז תכפיל אותו בשלוש ותוסיף אחד, וככה תקבל אפוא - בכל מקרה - מספר חדש, אשר עליו תפעיל שוב את האלגוריתם הקודם - וחוזר חלילה, אז "כנראה" שלבסוף תגיע בהכרח למספר אחד. יש כמובן טענות בלתי מוכרעות נוספות, שעל הכרעתן הוצעו פרס כספי בסך מיליון דולר (אגב גם איננו יודעים האם נוכל אי פעם להוכיחן או להפריכן או שמא לעולם ועד לא נוכל לא להוכיחן ולא להפריכן), אך כאמור תמהני מה זה עוזר לך שאתה יודע לבנות אלגוריתם שמציג לך באופן מסודר את כל הטענות הבלתי מוכרעות האלה, תכלס האלגוריתם הזה הרי לא אומר לך האם הן נכונות.

 

[מני אה]

0100101010

הן לא צריכות להיות נכונות או לא, הן כן צריכות להיות מבוססות על הלוגיקה. כששאלתי על רדוקציה של המתמטיקה ללוגיקה אמרת שזה בלתי אפשרי בגלל גדל. עכשיו אפשר לשאול האם באמת טענה יכולה להיות אמיתית או לא, וייתכן שלא נדע אף פעם, אך מבוססת על הלוגיקה? ומה הכוונה של מבוססת על הלוגיקה? על אלה אני עוד אחשוב עם עצמי, וייקח אולי איזו שנה עד שאבדוק ואבוא שוב עם השאלה.
תודה

 

[מפענח התעלומות]

כל טענה הנובעת מאכסיומות של הלוגיקה היא נכונה

מאידך, כל טענה חדשה ובלתי מוכרעת שעליה מדבר משפט אי השלמות, אינה נובעת מאכסיומות הלוגיקה לבדן, והיא אפילו אינה נובעת ממערכת האקסיומות שעבורה בנינו את אותה טענה חדשה.

כמו כן, ממערכת האקסיומות שעליה מדבר משפט אי השלמות, נדרש - שהיא תכלול: הן את כל 15 האכסיומות של החיבור ושל הכפל (מה שנקרא: "אכסיומות פיאנו") - שאגב כוללות את כל שמונה האכסיומות של הלוגיקה. לכן ברור, שאם הצלחנו לבנות טענה מתמטית חדשה שאיננה מוסקת (וגם איננה מופרכת) מתוך מערכת האקסיומות הנ"ל (שכאמור מכילה גם את כל שמונה האקסיומות של הלוגיקה), אז ברור שהטענה החדשה אינה יכולה להיות "מבוססת על הלוגיקה" (כלשונך).

 

[מני אה]

לוגיקה

גם טענה שקרית נובעת ממערכת אקסיומות. אתה נותן לה ערך שקר בגלל המערכת הזו.
יש לוגיקות של אולי ולא רק אמת ושקר. אפשר לומר שלגדל יש איזה היגיון בבניה של משפטים/טענות כאלה. שאין לאדם משהו מחוץ ללוגיקה, לאו דווקא הפורמלית-מתמטית והבסיסית (הנחה לתפיסת עולם) ואז צריך לבסס את זה (לא שאני מחזיק בתפיסת עולם כזו למען האמת)

 

[מפענח התעלומות]

אתה דיברת על "טענות המבוססות על הלוגיקה".

אני לתומי סברתי, שבכך התכוונת לטענות שאמיתותן נובעות מאקסיומות הלוגיקה הסטנדרטית לבדן (אגב הן נקראות בשפה המקצועית: "האקסיומות של יחס השויון מסדר ראשון", או בכינוי פחות מדוייק: "תחשיב היחסים מסדר ראשון"). אין הרבה אקסיומות כאלה. לכל היותר - שמונה (למשל: חוק אי הסתירה, חוק השלישי הנמנע, וכיוצא בכך). משפט אי השלמות טוען אפוא, שלכל מערכת אקסיומות עקבית (וניתנת-למיחשוב), שכוללת הן את שמונה האקסיומות הנ"ל של הלוגיקה, והן את שבע האקסיומות של החיבור ושל הכפל (מה שנקרא בשפה המקצועית "מערכת פיאנו"), ניתן למצוא טענה חדשה אשר - למרות שהיא תהיה מורכבת אך ורק ממילים שמהן מורכבות האקסיומות של המערכת הנ"ל, עדין לא יהיה ניתן - לא להוכיח את הטענה החדשה ולא לפרוך אותה - מתוך מערכת האקסיומות הנ"ל.

עכשיו מה אתה אומר לי? שתיתכן גם טענה שקרית אשר [אמיתותה] נובעת ממערכת אקסיומות (כמובן זה קורה למשל כשמערכת האקסיומות מכילה עצמה מכילה שקרים או סתירות פנימיות). אז נכון, ואדרבא, זה מוכיח את עוצמתו של משפט אי השלמות, שהוא חל גם על מערכות שמתוכן נובעות טענות שקריות, דהיינו הוא טוען כי - גם עבור מערכות אקסיומטיות תומכות-שקר כאלה - ניתן למצוא טענה חדשה שאותה לא יהיה ניתן להוכיח ואף לא לשלול מתוך המערכת האקסיומטית הנ"ל, כמובן בתנאי שכאמור היא תהיה עקבית (וניתנת למיחשוב) ותכלול את 15 האקסיומות שציינתי לעיל.

על כל פנים, חשיבותו של משפט אי השלמות, אשר מתייחס כאמור גם למערכות האקסיומטיות תומכות-השקר, היא לא בכך שהוא חל גם על המערכות האקסיומטיות תומכות-השקר - שהרי מערכות כאלה אינן מעניינות במיוחד, אלא חשיבותו של משפט אי השלמות היא בכך - שהוא חל גם על כל המערכות האקסיומטיות שאינן מאפשרות להסיק מתוכן טענות שקריות. כלומר, משפט אי השלמות טוען, שאפילו אם אתה תמצא מערכת אקסיומטית (הניתנת למיחשוב והמכילה את 15 האקסיומות הנ"ל) - אשר אינה מאפשרת להסיק טענות שקריות - מה שאגב אומר שממילא היא עקבית, עדין יהיה ניתן למצוא טענה חדשה אשר - למרות שהיא תהיה מורכבת אך ורק ממילים שמהן מורכבות האקסיומות הנ"ל, עדין לא יהיה ניתן - לא להוכיח אותה ולא לפרוך אותה - מתוך מערכת האקסיומות הנ"ל.

אתה טוען, ש"יש לוגיקות של אולי ולא רק אמת ושקר". נכון, אבל משפט אי השלמות מתייחס רק למערכות אקסיומטיות שכפופות לאקסיומות של הלוגיקה הסטנדרטית, שהיא לוגיקה של אמת ושקר - לא לוגיקה של "אולי". למה זה חשוב? בין השאר, כי זה אומר - שמתוך משפט אי השלמות נובע - שלא ניתן לבנות מתמטיקה אוניברסלית שמבוססת על ערכי אמת ושקר בלבד. כמובן, יתכן אולי לבנות מערכת מתמטית אוניברסלית שמעניקה גם את הערך "אולי" לטענות מסויימות, אלא שהמתמטיקאים אינם חפצים אוניברסלית במערכת כזו, כי הם מצפים מהמתמטיקה שתאפשר להם לגלות את *כל* האמת המתמטית. אם יש דברים שהינם רק בגדר של "אולי", אז המשמעות הפילוסופית תהיה, שיש שאלות מתמטיות אשר את התשובה עליהן - לא נדע בוודאות לעולם, אלא מקסימום נוכל להגיד עליהן "אולי", וזה מאד מאכזב, וספק רב אם במצב כזה ניתן לקרוא למערכת מתמטית כזו "אוניברסלית".

 

[מני אה]

אהלן

יש לי עוד שאלה בבקשה: יש את הבעיה של פואנקרה, מנסים לגרום למעגל להיות נקודה אחת על סופגנייה מחוררת (טורוס). איך פרלמן פתר את זה? כמובן שפה תרצה להכניס חישובים, ואני באמת תמהה למה ללכת לחישובים. אבל הבנתי שמה שהוא עשה היה לעוות את הטורוס כדי לפתור את זה. באיזו דרך הוא עיוות אותו?

 

[מני אה]

המשך

ומתוך רצון לפשטות ופשטנות אני אציג את זה כך:
הבעיה: [ https://en.wikipedia.org/wiki/File:P1S2all.jpg]
הפתרון: [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sphere-like_degenerate_torus.gif ]

 

[מני אה]

בעצם "הפתרון" בתמונה לא יכול להיות נכון כי זה

קל מידי
נראה לי

 

[מפענח התעלומות]

חוששני שלא תיארת נכון את הבעיה.

תיאורה המתמטי המדוייק של הבעיה הוא אמנם מורכב למדי, אך בשפה יותר אנושית – אם כי פחות מדוייקת – היא ניתנת לתיאור באופן הבא:
נתאר לעצמנו גוש עשוי פלסטלינה, שהנו "מלא לגמרי" (כלומר נטול חורים פנימיים), וגם אין לו "קצה" (כמו שלמעגלים ולכדורים אין קצה), וגם יש לו גבולות (כמו שלכל עצם פיזי המוכָּר לנו יש גבולות), כעת נחשוב שאנחנו מנסים "ללוש" את גוש הפלסטלינה הזה (כולל מעיכות וכיווצים ומתיחות וכדומה) – אך "בזהירות", דהיינו תוך הקפדה לא לקרוע אותו תוך כדי הלישה, וגם לא להדביק זה לזה חלקים שלו אשר אינם נוגעים זה בזה; ובכן, לפני כמאה שנים שיער פואנקרה כי גם אם גוש הפלסטלינה התלת-מימדי הזה (שיש לו אורך רוחב וגובה) "עוטף" גוף ארבע-מימדי (כמובן קשה לדמיין גוף ארבע מימדי) – עדין "הלישה הזהירה" של גוש-הפלסטלינה הזה מאפשרת להפוך אותו לכדור מושלם. במשך כמאה שנים שברו המתמטיקאים את שיניהם כדי להכריע האם נכונה השערה זו של פואנקרה, אך רק בשנת 2006 קיבלה הקהילייה המתמטית מאת גרגורי פרלמן את פתרון "בעיית המילניום”: הוכחה מתמטית מדוייקת של נכונות השערת פואנקרה. אגב, בזכות פתרונו של פרלמן – גם נפתרו סופית כמה חידות חשובות אודות מבנה היקום שלנו.

פתרונו של פרלמן משתרע על פני עשרות עמודים, שפורסמו בחלקים - אחת למספר חודשים. אז האם אתה בעצם מבקש שאני אסכם לך בהודעה אחת את ההוכחה המשתרעת על פני עשרות עמודים?