תנועה במסלול עקום

[The Independent]

תנועה במסלול עקום

שלום, אני מצרף מאמר קצר שמסכם את נסיונותיי לתאר תנועה במסלול עקום שמתואר ע"י פונקציה y=f(x). ניסיתי לפתור את הבעיה ב-3 דרכים שונות, שלא את כולן אני מסוגל לבדוק (אינני מכיר אלגוריתם נומרי לפתרון המשוואה שמוצגת בסעיף א'). אני מציג את החישובים לשיפוטכם, בתקווה שתוכלו לעזור לי למצוא טעויות או לגלות שצדקתי. תודה

 

[אמִיר]

אתה כן יכול לבדוק אם הדרכים מתכנסות

אם יש לך ביטוי ל(dx/dt) בריבוע, אתה יכול לגזור אותו, ולקבל את הנגזרת השניה, כפול פעמיים הנגזרת הראשונה-> מכאן אתה יכול להגיע לנוסחא עבור הנגזרת השניה, ולהשוות עם הביטוי שקיבלת בדרך השניה. התחלתי לעשות את זה, אבל אז שמתי לב למשהו מוזר, אם אני מציב 0 במשוואה הראשונה (t=0), אני מקבל משהו לא הגיוני. אז נראה לי שיש שם טעות. גם במשוואה השלישית בטח אפשר לשחק קצת עם המתמטיקה ולראות אם מגיעים למשוואות הקודמות.

 

[אמִיר]

גם מהמשוואה השלישית

לא מגיעים למשוואה השניה.. לפחות אני לא הצלחתי. צריך להשתמש שם קצת בטריגו (נוסחא לזוית כפולה של סינוס, ואיך מבטאים סינוס וקוסינוס בעזרת טנגנס.. קוסינוס זה אחד חלקי שורש של (אחד ועוד טנגנס בריבוע), וסינוס זה טנגנס כפול קוסינוס)

 

[רן בן חור]

אפשר להשתמש אולי בהחלפת משתנים

 

[The Independent]

מבחינת החישובים וההיגיון

האם לדעתך הדרכים בהן עבדתי נכונות?

 

[avinamal]

אני לא יודע לגבי הדרך

אבל התוצאה (השניה) כנראה לא נכונה. ומה קרה למהירות ההתחלתית במעבר לשיטות 2, 3 ?

 

[אמִיר]

שם זה מד"ר מסדר שני

ולכן המהירות היא חלק מהתנאי התחלה של הבעיה, בשאלה הראשונה יש מד"ר מסדר ראשון, והמהירות חייבת להיכנס איכשהו

 

[The Independent]

מדוע?

למה אתה קובע שהתוצאה לא נכונה בלי להתייחס לדרך? וכמו שנאמר לפניי, המהירות ההתחלתית חייבת להיכנס כפרמטר למשוואות 2 ו-3, אחרת אי אפשר יהיה למצוא פתרון ספציפי.

 

[avinamal]

אני קובע זאת כיוון שמשוואות 1, 2 לא מסתדרות

והראשונה נכונה בוודאות. שים לב לגזירה שלך של הלגרנז'יאן - יש לך שם לפחות 2 שגיאות. גם גזרת לפי הזמן באופן שגוי, גם שינית את התוצאה שיצאה במעבר לתוצאה הסופית. אם יהיה לי סורק אני אתקן לך את זה - היה צריך לצאת לך:

x'' = -F'(x) * [ (x')²*F'' + g ] / [ 1 + (F')² ]​

 

[avinamal]

ולגבי משוואה 3

מה שכתוב שם במלים יפות זה:

x'' = gF' / [ 1 + (F')² ]​

עכשיו אתה צריך לחשוב אם ואיך 3 התוצאות הללו קונסיסטנטיות אחת עם רעותה.

 

[The Independent]

איך הגעת למשוואה הזו?

במשוואה 3 אצלי מופיעים סינוס וארקטנגנס, לא הבנתי איך הפכת את זה למשוואה שכתבת. אם אכן זו המשוואה שמתקבלת אז באמת קשה לי להאמין שהיא קונסיסטנטית עם משוואה 2, כי המכנים שווים וזה דורש שוויון של המונים, מה שגורר תוצאה מוזרה מאוד.

 

[avinamal]

השתמשתי בנוסחאות טריגונומטריות ידועות

tan^-1[x] = sin^-1[ x / √(x²+1) ] tan^-1[x] = cos^-1[ 1 / √(x²+1) ]​

 

[The Independent]

לא הכרתי את הנוסחאות האלה

(מעולם לא עבדתי עם ארקטנגנסים/ארקסינוסים מעבר לפתרון משוואות טריגונומטריות, כך שאינני מכיר זהויות הקשורות לפונקציות האלה; אני אפילו לא יודע לגזור אותן!

) בכל מקרה, אם אני מבין נכון, משוואות 2 ו-3 לא יכולות להתקיים "ביחד", כלומר לא יכול להיות ששתיהן נכונות. אני נוטה לחשוב שהבעיה במשוואה 3, מה היה לא טוב שם לדעתך?

 

[The Independent]

אתה צודק, מצאתי את הטעות בגזירה

אם הבנתי אותך נכון, שכחתי לגזור את x כפונקציה של הזמן, וזה שיבש את התוצאה. עכשיו גזרתי כמו שצריך (אני מקווה...) וקיבלתי את התוצאה שכתבת. בקרוב אעלה את התיקון לפורום כדי שהפידבק שאקבל יהיה נקי מטעויות אלגברה.

תודה רבה על התיקון!

 

[רן בן חור]

מעניין

היה חסר לי סיכום שמכיל את שלושת המשוואות שקיבלת, עם אולי הסבר על יחסי הגומלין בינהן אם יש ועוד היה חסר לי דוגמאות של מקרים פרטיים. בסך הכל עבודה יפה וחשובה.

 

[The Independent]

תודה על ההערות

בהודעה הראשית סיכמתי קצת. ראוי להוסיף שאני מתקשה להאמין ששתי המשוואות האחרונות יכולות שתיהן להיות נכונות, בעיקר כי במשוואה 2 יש תלות במהירות ובמשוואה 3 אין. הבעיה היא שאני לא מבין איפה הטעות מבחינת השיקולים הפיזיקליים (את האלגברה בדקתי מספר פעמים, לאחר טעויות מביכות - קיבלתי תלות במסה בשתי משוואות...). תודה על התגובה.

 

[אמִיר]

המשוואה השלישית היא בעצם

אם לא טעיתי, האיבר השני במשוואה הראשונה. מה שמעלה אצלי את החשד שזה קשור לקירוב לסדר ראשון שעשית (שמזניח את הנזגזרת השניה)

 

[The Independent]

אני מבין, אבל

אמנם יש פה קירוב והתאמת מודל לינארי, אבל בכך שאני לוקח את זווית השיפוע בכל נקודה, אני בעצם משאיף את מספר ה"קטעים" הבדידים שמחלקים את הפונקציה לאינסוף, לא? ובכלל, האם לדעתך קירוב מהסוג הזה הוא נכון ושימוש בו לא פוגע באופן ניכן בדיוק?

 

[אמִיר]

זה נראה לי נכון

אבל אני לא בטוח..הייתי עונה קודם אם הייתי יותר בטוח, אבל היה לי יותר קל לבדוק את המתמטיקה

 

[The Independent]

התבקשתי על ידי רן בן חור לפרסם את ההודעה הבאה

מכיוון שהוא אינו יכול לשרשר הודעות כרגע: "בחלק השלישי אתה מגדיר את x בתור הרכיב המאוזן של וקטור ההעתק. בשני החלקים הקודמים אתה מתייחס ל- x בתור פרמטר עבור האנרגיה (פוטנציאלית וקינטית) שהיא סקלארית. כיוון שההגדרה אינה עקבית, גם התוצאה אינה תואמת. כדי לתקן, אתה צריך להוסיף משוואת תנועה בחלק של המכניקה האנליטית לציר המאוזן, ובחלק השלישי אתה צריך משוואה לציר המאונך. אז תוכל לייצר את וקטור ההעתק שנמצא בחלק הראשון." תגובתי - אם תסתכל בראש המאמר, כבר בהתחלה הגדרתי את x בתור הרכיב המאוזן של וקטור ההעתק. בחלק א' פשוט ביטאתי את האנרגיות (פוטנציאלית וקינטית) באמצעות x, כיוון שכך הכי נוח לעבוד. בחלק ב' (מכניקה אנליטית) פשוט בחרתי ב-x בתור הקואורדינטות המוכללות שבהן אני עובד כי כך נוח לבטא את y באמצעות x. במילים אחרות, לא הבנתי איפה חוסר העקביות ואודה לך אם תוכל להסביר.