תנועה במסלול עקום

[רן בן חור]

המשך תגובה,

נכתב על ידי The Independent במסר אלי: אם תסתכל בראש המאמר, כבר בהתחלה הגדרתי את x בתור הרכיב המאוזן של וקטור ההעתק. בחלק א' פשוט ביטאתי את האנרגיות (פוטנציאלית וקינטית) באמצעות x, כיוון שכך הכי נוח לעבוד. בחלק ב' (מכניקה אנליטית) פשוט בחרתי ב-x בתור הקואורדינטות המוכללות שבהן אני עובד כי כך נוח לבטא את y באמצעות x. במילים אחרות, לא הבנתי איפה חוסר העקביות ואודה לך אם תוכל להסביר. השימוש באנרגיות אינו מבדיל בכיוון התנועה של הגוף והשימוש באנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית מעידה על כך שהאנרגיה היא מוכללת ואינה מתאימה באופן בלעדי לתנועה אופקית. לכן, חיפוש של התאוצה האופקי בלבד אינה מספקת ולכן נדרוש לחשב את התאוצה השקולה. רק אז תקבל שוויון בין המשוואות.

 

[The Independent]

הכפלתי בקוסינוס הזווית

כך, אם אינני טועה, מוצאים את הרכיב האופקי של וקטור כלשהו (התאוצה במקרה הזה), כאשר גודל הווקטור ניתן ע"י g*sin p, אם p זווית השיפוע.

 

[רן בן חור]

לא, הבנת את הטענה שלי

ולמרות זאת גם אני טועה ונוטה לקבל משהו שנכתב למעלה בשירשור. כתבו שבמקרה השלישי אתה מניח צורה פשוטה של הכוח. כלומר במובן מסויים מדובר במקרה פרטי ובשניים הקודמים מדובר במקרה שהוא כללי יותר ומוכלל. בכל זאת מעניין לבטא את המקרה הפרטי באמצעות המקרה הכללי. כלומר, להגדיר את f(x) בקרה של גוף הנע בשיפוע ולהגיע אל המשוואה השלישית.

 

[The Independent]

אם מחלקים את הפונקציה

לחלקים בדידים, כלומר (עקרונית) מותחים מיתרים קצרים מאוד בין נקודות בפונקציה, התנועה היא כמו החלקה במדרון משופע, ואז צורת הכוח באמת פשוטה. יכול להיות שהטעות שלי היא שעבדתי בצורה רציפה ולא בדידה (התייחסתי לכל נקודה ולא השתמשתי במיתרים).

 

[niv1990]

אם הבנתי נכון אז בג' הנחת שיש נורמל

מה בקשר למצב בו הגוף ניתק מהמסילה או שהנורמל אפסי? (מה שיכול לקרות במסלול "חוקי"). דבר שאני לא חושב שאמור להפריע לדרך א'. דרך אגב עבודה יפה!

 

[The Independent]

העובדה שהנחתי את קיומו של הנורמל

לא אומרת שפסלתי את האפשרות של היותו אפסי. הקיום העקרוני של הנורמל הכרחי למודל של מישור משופע. ותודה

 

[niv1990]

אם כך אז נניח שהנורמל זניח

למה התאוצה במקרה כזה היא gsinW ולא g? (נדמיין שW זו הזווית).

 

[The Independent]

בהחלקה על מישור משופע

מקבלים מניתוח כוחות

N=mg*sinW​

(כאשר W היא הזווית).

 

[niv1990]

אבל זה רק אם סכום הכוחות בציר הרדיאלי=0

מה שלא קורא כשיש תאוצה רדיאלית (והנוסחה שהגעת אליה בג' אכן טובה למקרים הפרטיים האלו). למרות שאני עייף אז נראה כבר מחר

 

[The Independent]

טעות שלי -

צריך להיות

N=mg*cosW​

טעות של שתיים בלילה

 

[קורן בן אשר]

למה אתה חושב שאין פתרון נומרי למש' הראשונה?

אז מה אם היא לא לינארית... פשוט... תוציא שורש.זה הכל. שים לב שאת כל מה שיש בצד ימין אתה אמור כבר לדעת מצעד האינטגרציה הקודם.

 

[The Independent]

לא טענתי שאין פתרון נומרי

פשוט כתבתי שהאלגוריתמים הנומריים שאני מכיר מתאימים לפתרון מד"ר מסדר שני; כאן מדובר במד"ר מסדר ראשון, ולכן אינני יכול לבדוק אותה. בנוסף, גם אילו הייתי מכיר שיטה, זה לא כ"כ פשוט, כי המהירות יכולה להיות שלילית. אני חושב שצריך להוציא שורש, ולהוסיף ביטוי כמו

cos(arctan(f(x)/x)) / abs(cos(arctan(f(x)/x)))​

כדי לקבל את סימן המהירות. תודה על ההתייחסות.

 

[קורן בן אשר]

אוקיי, אז תכיר...

המילה "אלגוריתם" קצת חזקה מדי פה. לצורך העניין, מספיק לך לרשום משוואת הפרשים אחת פשוטה פשוטה כמו: ZZ X[t+1]=X[t]+dt*x_dot ZZ בכל צעד זמן את יודע את צד ימין מצעד האינטגרציה הקודם. מה שנשאר לך זה להכניס את הכל בתוך לולאה שרצה על t. וכן, תצטרך לשים בפנים איזשהו if-then שיטפל בנושא של הסימן.

 

[The Independent]

הנחתי קיום של אלגוריתם כזה

בדומה לאלגוריתם של אוילר לפתרון מד"ר מסדר שני. הבעיה היא שהאלגוריתם הזה די חלש; לשם המחשה, הגרסה האנלוגית שלו למד"ר מסדר שני (עבודה עם תאוצה) נכשלת בפתרון בעיית תנועה הרמונית פשוטה, אלא אם כן מקטינים מאוד את dt. אני התכוונתי לאלגוריתמים קצת יותר מתוחכמים, דוגמת predictor-corrector ו- Runge-Kutta.

 

[The Independent]

תיקונים + הקשר בין המשוואות

אני מצרף כאן את המאמר המתוקן; תיקנתי את שגיאות הגזירה בחלק על המכניקה האנליטית והוספתי עמוד שמראה ומוכיח את הקשר בין שתי המשוואות הראשונות. היות שהמשוואות האלו קונסיסטנטיות כעת, אני נוטה להאמין שהן נכונות, ולכן אני מתעניין כרגע במיוחד במשוואה האחרונה, ואשמח לשמוע את דעתכם.

 

[אמִיר]

הבעיה במשוואה האחרונה

שהכוח שגורם לגוף להישאר על המסילה כל הזמן הוא לא פשוט! אתה הנחת שיש את כוח הכובד בכיוון המסילה, ועוד כוח נורמלי שמבטל את כוח הכובד בכיוון הניצב. אבל כל עוד זה לא שיפוע פשוט (כלומר, יש נגזרת שניה לf), זה לא מדוייק. למשל, הצורה קמורה אין אצלך שום כוח שיחזיק את הגוף על המסילה (כי כוח נורמלי לא יעשה את זה). אם המסילה קעורה, הכוח פועל בעצם גם בכיוון התנועה, ולא רק מבטל את כוח הכובד (תחשוב נגיד אם לא היה כוח הכובד, נגיד היית שם את זה על שולחן)

 

[avinamal]

לא הבנתי את דבריך - תרשים הכוחות נראה לי נכון

 

[The Independent]

אני לא בטוח שהבנתי

הכוחות היחידים שפועלים הם כוח הכבידה והנורמל. אני מתייחס לכל נקודה כאל מישור משופע בזווית מסוימת (ניתנת ע"י הנגזרת וכו'). במקרה של מישור משופע בזווית p, התאוצה היא a=g*sin p ואת זה קל להוכיח. אם כך, לא הבנתי איפה הבעיה.

 

[אמִיר]

אני אסביר שוב

בשתי השיטות הראשונות אתה מניח שהגוף תמיד נשאר על המסילה- זו הנחה, שממנה אתה גוזר את משוואות התנועה בשיטה השלישית אתה מניח שמה שגורם לגוף להישאר על המסילה זה רק כוח הכובד. עכשיו, אם נגיד המסילה היתה קמורה, נגיד גבעה- החלקיק היה עולה על הגבעה, אבל כשהוא מגיע לשיא- הוא פשוט היה ממשיך לעוף (בתנועה בליסטית). לא היה לו שום סיבה להמשיך ולרדת דווקא על הגבעה. אם הוא באמת יורד רק על הגבעה, צריך להיוח כוח שיגרום לו לעשות את זה. לדעתי זה נכון גם אם זו לא גבעה אלא כל משטח שהוא לא ישר. כאשר הזוית משתנה, המשטח עצמו בולם או מושך את הגוף. ושוב, אפשר לראות ממשוואות אוילר לגרנז' מה באמת הכוח, ורואים שכוח הכובד הוא רק חלק, ויש עוד חלק שתלוי בנגזרת של השיפוע.

 

[The Independent]

הפעם אני חושב שהבנתי

הנה שיטה אלטרנטיבית אבל דומה: חלוקה של המסלול להרבה מאוד קטעים לינאריים קצרים. האם במקרה כזה ההיגיון בו השתמשתי אמור לפעול?