1786 - יוסף, שמעון, שמעון, יוסף...
בשנת 1786 - לאחר מות המלך Frederick of Prussia - מחליט לאגראנג'ה, בשל מצבו, להחליף מקום מגורים ואווירה. לאגראנג'ה מקבל כמה הזמנות, ונעתר לבסוף להזמנה לבוא לפאריס, ומתקבל מייד ל- École Polytechnique, ומשנה את שמו ל- Lagrange. בשנת 1788, תודות למאמציו של חברו - Legendre - הודפסה לבסוף המסת המופת שלו - Mécanique analytique (מכניקה אנאליטית). כשהגיע Legendre לביתו של לאגראנז' - הוא מצא את לאגראנז' במיטתו, במצב של דיכאון חריף. הוא הניח בגאווה את העותק הראשון של הספר על שולחנו של לאגראנז', וניסה לעודד אותו ולהחדיר בו את תחושת ההישג. זה לא הצליח. לאגראנז' לא יצא ממיטתו במשך שנתיים. הספר נותר על שולחנו, מבלי שנגע בו - במשך השנתיים הללו. שנים אחר כך - כתב William Rowan Hamilton (מזכיר לי את - Shrek) את המשפט: "המסה הזו יכולה להיות מתוארת רק כ- "שירה מדעית".
Over and above these various papers he composed his great treatise, the Mécanique analytique. In this he lays down the law of virtual work, and from that one fundamental principle, by the aid of the calculus of variations, deduces the whole of mechanics, both of solids and fluids. The object of the book is to show that the subject is implicitly included in a single principle, and to give general formulae from which any particular result can be obtained. The method of generalized co-ordinates by which he obtained this result is perhaps the most brilliant result of his analysis. Instead of following the motion of each individual part of a material system, as D'Alembert and Euler had done, he showed that, if we determine its configuration by a sufficient number of variables whose number is the same as that of the degrees of freedom possessed by the system, then the kinetic and potential energies of the system can be expressed in terms of those variables, and the differential equations of motion thence deduced by simple differentiation. For example, in dynamics of a rigid system he replaces the consideration of the particular problem by the general equation, which is now usually written in the form ∂/∂t(∂T/∂θ′) - ∂T/∂θ +∂V/∂θ = 0 T for the Kinetic energy and V for the Potential energy. Amongst other minor theorems here given it may mention the proposition that the kinetic energy imparted by the given impulses to a material system under given constraints is a maximum, and the principle of least action. All the analysis is so elegant that Sir William Rowan Hamilton said the work could only be described as a scientific poem. It may be interesting to note that Lagrange remarked that mechanics was really a branch of pure mathematics analogous to a geometry of four dimensions, namely, the time and the three coordinates of the point in space; and it is said that he prided himself that from the beginning to the end of the work there was not a single diagram.
בשנת 1792 - התאהבה סטודנטית צעירה בלאגראנז'. היא זיהתה את הגאונות הבלתי-ממומשת של הענק הזה, נמלאה חמלה כלפי מצוקתו הנפשית, והחליטה להיות בת זוג שלו - כדי שתוכל לטפח ולדאוג לו ולכל צרכיו, כדי שיצא מהמשבר הנפשי הקשה ששיתק אותו. למרות סירובו - היא המשיכה לחזר אחריו במרץ, ולבסוף שיכנעה אותו להתחתן איתה. לאחר נישואיהם - התברר שנוצר קשר נפלא של אהבה אמיתית ביניהם (למרות הפרש הגילים), והיא ביצעה בדיוק את אשר התכוונה - לטפח ולחזק את לאגראנז', ולהעניק לו התחלה חדשה, מאושרת, פוריה, יצירתית. ב- École Polytechnique - לאגראנז' לוקח תחת חסותו סטודנטים דוקטורנטים, ובמיוחד את : - שמעון פואסון (Simeon Poisson) - יוסף פורייה (Joseph Fourier) מדהים, כיצד התקבצו כמה מהשמות הגדולים ביותר של המגע מאז ומעולם - בחברתו של לאגראנז'. בשנת 1795 Joseph Fourier - מתאר ביומנו את היחס הבלתי סובלני שהופגן כלפי לאגראנז' - מצד כמה סטודנטים, שליגלגו עליו, על אופיו ואישיותו, על זרותו, ועל המבטא האיטלקי - שממנו לא הצליח להיפרד:
His voice is very feeble, at least in that he does not become heated; he has a very pronounced Italian accent and pronounces the s like z … The students, of whom the majority are incapable of appreciating him, give him little welcome, but the professors make amends for it.
Poisson - המשיך את דרכו של לאגראנז' בתחום המשוואות הדיפרנציאליות, הכליל את המרחב באמצעות מאניפולדים פואסוניים סימפלקטיים ואחרים, שעליהם ניתן להגדיר שדות וקטוריים ושדות טנסוריים באמצעות tangent bundles, או - configuration spaces, בעלי מערכת קואורדינטות קנונית, שאותה הגדיר באמצעות ה- Poisson Bracket, וגם באמצעות cotangent bundles, או - phase spaces - שאליהם ניתן לעבור, וגם לחזור באמצעות הטרנספורמציה הקנונית ההפיכה:
suppose that we define a symplectic Poissonian Manifold (M, ω), Then with the Poisson Bracket criteria, it sets up a transform of the type: ω : TM → T*M between the tangent bundle TM and the cotangent bundle T*M, with the inverse: Ω : T*M → TM, where Ω = ωˉ¹
Fourier - המשיך לכוון של תיאורים של פונקציות רציפות, באמצעות תדרים דיסקרטיים, ולהגדרת מערכת אקוויולנטית בתחום הפאזה והתדר - jω. אין צורך לתאר את גאוניות התרומה שלו למתמטיקה ולפיסיקה. ועדיין - שלושתם נמנעו במתכוון ובמוקפד - מלהכניס הסתברויות וספקולציות - לתוך הפורמולציה שלהם.
