מה צריך להוכיח
דבר ראשון כמה עובדות שאתה כנראה מכיר: נניח שיש לנו מרחב מכפלה פנימית V ותת-מרחב U של V. אפשר להסתכל על הקבוצה *U של כל האיברים המאונכים לכל איברי U - תת המרחב האורתוגנלי ל-U (אמנם *U הוא לא הסימון המקובל, אבל הבנת למה אני מתכוון). לפי משפט מוכר מאלגברה לינארית V הוא הסכום הישר של U ו-*U, כלומר כל איבר v ב-V ניתן להצגה בצורה יחידה כסכום v=u+w עבור u ב-w, U ב-*U. כעת נגדיר העתקה לינארית T:V-->V לפי T(v)=u (קח את הוקטור, פרק אותו כמו שטוען המשפט, וקח את החלק שנמצא ב-U). ההעתקה T נקראת ההטלה האורתוגונאלית של V על U. די קל להשתכנע שלהעתקה T יש את התכונות הבאות: 1. T^2=T (כי Tv הוא ב-U, וההטלה של איבר ב-U על U היא הוא עצמו) 2. ||Tv|| <= ||v|| (תרשום v=u+w, הצג את ||v|| בעזרת < u+w,u+w > ופתח סוגריים) מה שאתה מתבקש להוכיח, הוא את הכיוון ההפוך: אם יש לך ההעתקה לינארית כלשהי T:V-->V, וכל מה שאתה יודע עליה הוא שהיא מקיימת את תכונות 1 ו-2, אז T היא ההטלה האורתוגונלאית של V על איזשהו תת מרחב U. כנראה כדי לענות על השאלה תצטרך קודם לענות לעצמך על מהו U (כלומר אנחנו יודעים איך להגדיר את T בעזרת U, אבל איך מגדירים את U בעזרת T). אחר כך תשתמש בתכונות הנתונות כדי להוכיח ש-T היא באמת ההטלה על U (כדאי לך לראות מתי בדיוק השתמשת בכל תכונה) עוזר?
דבר ראשון כמה עובדות שאתה כנראה מכיר: נניח שיש לנו מרחב מכפלה פנימית V ותת-מרחב U של V. אפשר להסתכל על הקבוצה *U של כל האיברים המאונכים לכל איברי U - תת המרחב האורתוגנלי ל-U (אמנם *U הוא לא הסימון המקובל, אבל הבנת למה אני מתכוון). לפי משפט מוכר מאלגברה לינארית V הוא הסכום הישר של U ו-*U, כלומר כל איבר v ב-V ניתן להצגה בצורה יחידה כסכום v=u+w עבור u ב-w, U ב-*U. כעת נגדיר העתקה לינארית T:V-->V לפי T(v)=u (קח את הוקטור, פרק אותו כמו שטוען המשפט, וקח את החלק שנמצא ב-U). ההעתקה T נקראת ההטלה האורתוגונאלית של V על U. די קל להשתכנע שלהעתקה T יש את התכונות הבאות: 1. T^2=T (כי Tv הוא ב-U, וההטלה של איבר ב-U על U היא הוא עצמו) 2. ||Tv|| <= ||v|| (תרשום v=u+w, הצג את ||v|| בעזרת < u+w,u+w > ופתח סוגריים) מה שאתה מתבקש להוכיח, הוא את הכיוון ההפוך: אם יש לך ההעתקה לינארית כלשהי T:V-->V, וכל מה שאתה יודע עליה הוא שהיא מקיימת את תכונות 1 ו-2, אז T היא ההטלה האורתוגונלאית של V על איזשהו תת מרחב U. כנראה כדי לענות על השאלה תצטרך קודם לענות לעצמך על מהו U (כלומר אנחנו יודעים איך להגדיר את T בעזרת U, אבל איך מגדירים את U בעזרת T). אחר כך תשתמש בתכונות הנתונות כדי להוכיח ש-T היא באמת ההטלה על U (כדאי לך לראות מתי בדיוק השתמשת בכל תכונה) עוזר?
