מתמטיקה-יום רביעי

[Bulzeye]

כמובן...תודה רבה לעונים!

 

[פורטיו]

משוואה מעריכית

התרגיל בקובץ המצורף

 

[עדין ר]

...

4^(3x+1) = 2 * 9^(3x+1/2) 4^(3x+1) = 2 * 9^(3x+1/2) * 9^(1/2) / 9^(1/2) 4^(3x+1) = 2 * 9^(3x+1/2+1/2) / 9^(1/2) 4^(3x+1) = 2 * 9^(3x+1) / 9^(1/2) 4^(3x+1) = 2 * 9^(3x+1) / 3 4^(3x+1) / 9^(3x+1) = 2/3 (4/9)^(3x+1) = 2/3 ((2/3)^2)^(3x+1) = 2/3 (2/3)^(2*(3x+1)) = 2/3 (2/3)^(6x+2) = (2/3)^1 6x + 2 = 1 6x = -1 x = -1/6​

 

[פורטיו]

תודה אחי.

 

[עדין ר]

שאלה 1

לא ברור מהי הנקודה M...

 

[Bulzeye]

מצורף...

 

[עדין ר]

זה קצת ארוך

אז אני אתן הדרכה: ראשית, נסה למצוא את הקודקוד C. שים לב שאם D הוא אמצע הקטע AB (שאותו אפשר למצוא די בקלות), אז הנקודה M מחלקת את הקטע CD ביחס של שליש לשני שלישים. שיעור ה-x של נקודה C כפול 2/3 + שיעור ה-x של נקודה D כפול 1/3 נותן את שיעור ה-x של נקודה D, וכנ"ל לגבי שיעורי ה-y. כעת אתה יכול למצוא את אמצע הקטע AC, וכן את שיפוע AC, ומכאן גם את שיפוע האנך האמצעי ל-AC. בעזרת שיפוע האנך האמצעי ואמצע הקטע AC מצא את משוואת האנך האמצעי. בצורה דומה, אתה יכול למצוא משוואה נוספות של אנך אמצעי, ואז למצוא את נקודת החיתוך בין שני האנכים האמצעים. נקודת חיתוך זו היא גם מרכז המעגל החוסם, והרדיוס שלו הוא המרחק מהמרכז לאחד הקודקודים. בעזרת מרכז המעגל ורדיוסו אתה יכול למצוא את משוואת המעגל החוסם.

 

[עדין ר]

שאלה 2

נעביר את משוואת המעגל להצגה קנונית:

x^2 + y^2 - 6x - 2y + 5 = 0 x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 9 + 1 - 5 (x-3)^2 + (y-1)^2 = 5​

כלומר מרכז המעגל הוא בנקודה (3,1). שיפוע הרדיוס ממרכז המעגל לנקודה A הוא

(3-1)/(4-3) = 2​

גם שיפוע הרדיוס ממרכז המעגל אותו אנחנו מחפשים לנקודה A הוא 2, ולכן אם נסמן את מרכז המעגל שאותו אנחנו מחפשים ב-(x,y) אז צריך להתקיים

(y-3)/(x-4) = 2 y-3 = 2(x-4) = 2x-8 y-5 = (y-3)-2 = (2x-8)-2 = 2x-10​

בנוסף, המרחק בין מרכז המעגל לבין A צריך להיות שווה למרחק בין מרכז המעגל לבין B, כלומר

sqrt((x-4)^2+(y-3)^2) = sqrt((x-10)^2+(y-5)^2) (x-4)^2 + (y-3)^2 = (x-10)^2 + (y-5)^2 נציב (x-4)^2 + (2x-8)^2 = (x-10)^2 + (2x-10)^2 x^2 - 8x + 16 + 4x^2 - 32x + 64 = x^2 - 20x + 100 + 4x^2 - 40x + 100 5x^2 - 40x + 80 = 5x^2 - 60x + 200 20x = 120 x = 6 y-3 = 2x-8 = 4 y = 7​

כלומר מרכז המעגל הוא בנקודה (6,7). המרחק בין נקודה זו לבין הנקודות A ו-B הוא 5, ולכן רדיוס המעגל הוא 5, ולכן משוואתו היא

(x-6)^2 + (y-7)^2 = 25​

 

[Bulzeye]

יש אולי דרך אחרת לפתרון?

 

[עדין ר]

למה הדרך הזו לא טובה?

 

[עדין ר]

שאלה 3

נציב את הנקודה (2-,1) במשוואת הפרבולה ונקבל

(-2)^2 = 2p*1 4 = 2p p = 2​

נציב את הנקודה (7,2sqrt3) במשוואת המעגל ונקבל

k = 7^2-10*7+(2sqrt3)^2 = 49 - 70 + 12 = -9​

נמצא את הנקודות המשותפות לפרבולה ולמעגל

y^2 = 4x x^2 - 10x + y^2 = -9 x^2 - 10x + 4x = -9 x^2 - 6x + 9 = 0 x = 3 y^2 = 12 y = +-sqrt(12)​

מכיוון שהנקודות המשותפות נמצאות על שני הענפים של הפרבולה, אלה נקודות השקה. ההצגה הקנונית של משוואת המעגל היא

(x-5)^2 + y^2 = 16​

כלומר מרכזו הוא בנקודה (5,0) ורדיוסו 4. השיפוע של הרדיוס לנקודות ההשקה הראשונה הוא

(sqrt(12)-0)/(3-5) = sqrt(12)/(-2) = -sqrt(3) (-sqrt(12)-0)/(3-5) = -sqrt(12)/(-2) = sqrt(3)​

משיפועי המשיקים ונקודות ההשקה קל למצוא את משוואות המשיקים.

 

[מחזיקת מפתחות]

בעיות..

יש לי כמה בעיות במתמטיקה..אני כיתה ח'.. אז אם מישהו יכול לעזור לי תודה .. א. ארזו כמות מסויימת של ספרים בחבילות. אם בכל חבילה היו אורזים 4 ספרים יותר אז צריך היה 3 חבילות פחות. אם בכל חבילה היו אורזים 6 ספרים פחות אז צריך היה 9 חבילות יותר. כמה ספרים ארזו? אני לא מצליחה להגיע למשוואה. אין לי מושג מה להציב ><.

 

[מחזיקת מפתחות]

בעיה 2..

סוחר קנה מוצרים שמחירם 5 ש"ח ומוצרים שמחירם 4 ש"ח ושילם 130 ש"ח. אם במקום 1/4[רבע] מהמוצרים שמחירם 4 ש"ח היה קונה מוצרים שמחירם 6 ש"ח היה משלם 140 ש"ח. כמה מוצרים מכל סוג קנה הסוחר?

 

[מחזיקת מפתחות]

בעיה 3..

בית דפוס התכוון לארוז 840 ספרים בארגזים כך שבכל ארגז מספר שווה של ספרים. 6 מהארגזים התפרקו ולכן ב-12 מהארגזים התקינים ארזו בכל ארגז ב 1/6[שישית] ספרים יותר מהמתוכנן ושאר הארגזים התקינים ארזו ב1/3[שלישפ ספרים יותר מההתוכנן. למרות זאת ל20 ספרים לא נותר מקום בארגזים. בכמה ארגזים התכוון בית הדפוס לארוז את הספרים?

 

[פנחס5]

פתרון3

X= מספר ארגזים. Y= מספר ספרים בארגז. x*y=840 y=840/x 12*7/6y+(x-18)*4/3y=820 כופלים, תוך הפיכת X*Y ל840, ומציבים את ערך Y כנ"ל ומקבלים כי מספר הארגזים היה מתוכנן ל 28. ומספר הספרים בארגז היה מתוכנן ל30.

 

[מחזיקת מפתחות]

אני לא מצליחה לפתור..

אני חייבת את כל המשוואה בשלמותה

 

[פנחס5]

פתרון אני לא מצליחה לפתור

 

[Gal isr]

אילו שאלות מאגניבות ../images/Emo13.gif

נסמן את מספר האריזות ב X, ומספר הספרים בכל אריזה Y. מהנתון הראשון אנחנו מגלים ש:

(y+4)x=x-3​

כלומר: ארבעה ספרים יותר ממה שיש יתן לנו שלוש חבילות פחות. ככה נבנה את המשוואה השנייה גם:

(y-6)x=x+9​

פתרון המשוואות יתן לנו ש X=3. נמצא את Y, ונכפיל ב 3 למציאת כמות הספרים הכוללת.

 

[מחזיקת מפתחות]

תודה../images/Emo24.gif

אבל יש עוד שניים.

 

[פנחס5]

פיתרון1

X= למספר החבילות. Y= למספר הספרים בחבילה. X*Y= לסך כל הספרים. המשוואה היא: xy/y+4=x-3 xy/y-6=x+9 ואת זה פותרים בשני נעלמים. התשובה היא: 240 ספרים