שאלה שממתינה אלפי שנים לחוכמת ההמונים

[aetzbar]

שאלה שממתינה אלפי שנים לחוכמת ההמונים

אלפי שנים מקובלת הדעה בדבר קיומו של מספר אחד ויחיד, האומר ...פי כמה גדול היקף המעגל מקוטרו.
ערכו של המספר האחד והיחיד הזה לא ידוע בדיוק, אך בטוח שהוא גדול מ 3.14 וקטן מ 3.15
ואף על פי כן שהמספר האחד והיחיד הזה לא ידוע בדיוק, הדעה המקובלת קובעת נחרצות, וכך מופיע בכל ספרי הלימוד

המספר המסתורי הזה - האחד והיחיד - אמור להופיע בכל מעגל, בין אם הוא זעיר ובין אם הוא ענק.

מול דעה זו הצגתי דעה מנוגדת האומרת ....
לכל מעגל יש את המספר הייחודי שלו, האומר פי כמה גדול היקף המעגל מקוטרו.
למעגל בקוטר 1 מ"מ יש את המספר הייחודי שלו , למעגל בקוטר ס"מ יש את המספר הייחודי שלו , למעגל בקוטר מטר יש את המספר הייחודי שלו , למעגל בקוטר 100 מטר יש את המספר הייחודי שלו , וכן הלאה ללא סוף
ההבדלים של המספרים הייחודיים הם זעירים, אבל בהחלט הם קיימים.

ובכן מה אומרת חוכמת ההמונים
יש מספר אחד ויחיד המתאים לכל המעגלים או לכל מעגל יש את המספר הייחודי שלו.
חוכמת ההמונים צריכה להכריע בשאלה שהמדע עוד לא הצליח להכריע
ההכרעה היא חדה וחותכת עם שתי אפשרויות בלבד

אפשרות א : יש מספר אחד ויחיד המתאים לכל המעגלים....
אפשרות ב : לכל מעגל יש את המספר הייחודי שלו ..........

א.עצבר

 

[aetzbar]

שיטת מונטה קרלו הופעלה על אפשרות א

http://he.wikipedia.org/wiki/שיטת_מונטה_קרלו

 

[רוני1955]

כמה שאתה טועה.....

המספר הזה הוא תוצאה של חישוב מתמטי. הוא מבוסס על חיתוך המעגל לכמה שיותר משולשים, שימוש בטריגונומטריה (טנגנס) וחישוב סכום הניצבים שנוצרו. כמה שהחלוקה יותר צפופה, מתקרבים יותר למספר הנכון. וזה בכלל לא משנה מה קוטרו של המעגל הזה. היחס הוא תמיד אותו יחס, ומה שקובע זו הזווית של קודקוד המשולש.

 

[Arana]

תוכל להסביר לי משהו אחר שקשור לענייני יחס?

בשיעורי ביולוגיה לימדו אותנו, שככל שהחיה יותר קטנה, שטח הפנים של העור שלה הוא גדול יותר. מעולם לא הצלחתי להבין את זה, זה נראה לי סותר. אני מבינה שזה משהו שקשור לחישוב היחס בין שטח פנים לנפח, ואני ומתמטיקה לא חברים כבר מכיתה ד' (שלום-שלום וכאלה, לא יותר).

 

[רוני1955]

אני לא מבין מה לא מובן.

קחי כדור בקוטר מסוים, חשבי את נפחו ואת שטח הפנים שלו. קחי כדור בעל קוטר קטן יותר, חשבי גם את נפחו ואת שטחו. תעשי נפח א' חלקי נפח ב', ועשני שטח א' חלקי שטח ב'. תראי שהתוצאות לא זהות. זה מוכיח שמה שאמרו לך כשהיית קטנה, זה נכון.
נוסחאות לחישוב יש כאן:
http://he.wikipedia.org/wiki/כדור_(%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94)
פשוט וקל.

 

[Arana]

זה לא העניין, אני מאמינה לך שתוצאות החישוב ייצאו כך

אבל האם ניתן להסביר את ההיגיון בזה? הכוונה שלי היא, אם אומרים לי שעץ א' יותר גבוה מעץ ב' ולכן הוא גם כבד יותר, כי כתוצאה מתוספת הגובה יש גם תוספת של מסה - אני מבינה את זה מבחינה הגיונית.
אני לא מצליחה להבין את ההיגיון בשוני בין שטחי הפנים, נראה לי הגיוני שככל שעצם גדול יותר - שטח הפנים שלו גם כן גדול יותר. למה זה הפוך?

 

[רוני1955]

זה מאד ברור והגיוני לחלוטין.

נסי גם את להסביר לי את ההגיון שאחד ועוד אחד שווה שניים. כשתצליחי, תביני לבד הכל.

 

[תולעת הגשם]

הסבר ליחס שטח פנים ונפח
שטח הוא תמיד אורך Xרוחב ואם מדובר בריבוע הרי זה בעצם אורך הצלע בריבוע. כלומר שטח כשהוא עולה (או יורד ) הוא עולה בחזקה שניה.
נפח הוא אורל X רוחבX גובה. ואם כולם שווים כמו בקוביה, הרי שזה אורך בשלישית. כלומר נפח עולה ( או יורד) בחזקה 3
היחס הוא ביניהם הוא שטח/ נפח במונה יש מספר בחקזה שניה ובמכנה מספר בחזקה שלישת. אם החיה גדלה נניח פיל - שטח גופו עצום אבל נפחו עוד יותר עצום כי הנפח גדל בחזקה שלישית והוא במכנה כלומר יש לנו מנה של מספר גדול במונה ומספר עוד יותר גדול במכנה. לכן המנה הזו קטנה. לעומת זאת עכבר- יש לו שטח קטן ונפח קטן אבל בגלל שהנפח בחזקה שלישית, היחס הוא עצום לעומת הפיל שנפחו הוא ממש ענק יחסית לנפח העכבר.
&nbsp
נניח ששטח הוא סתם 1 בריבוע זה כמובן 1 והנפח הוא 1 בשלישת גם הנפח הוא 1 והמנה היא 1
אם השטח הוא 2X2 כלומר 4 אזי הנפח הוא 2X2X2 הנפח הוא 8 4 לחלק ל-8 זה חצי 0.5 שזה פחות מ-1 . הגוף גדל בריבוע בשטח אבל הנפח הוא בשלישית. אם ניקח גוף גדול יותר נניח שטח 3X3 אז הנפח יהיה 3X3X3 ואז היחס יהיה 9חלקי 27 כלומר שליש שזה יותר קטן מחצי, בערך 0.33
&nbsp
כמובן שהחישוב למעלה הוא רק קרוב, כי לקחנו שטח פנים לא ממש אמיתי אלא מקורב ( לקוביה שטח הפנים הוא צלע X צלע 6X כי יש 6 דפנות , אבל זה לא משנה את החישוב העקרוני.

 

[Arana]

הרבה יותר ברור כך.

 

[YTmda]

זה נכון שככל שעצם גדול יותר כך שטח הפנים שלו גדול יותר

אבל יחסית לנפח העצם הוא הולך וקטן. העניין כאן הוא יחסי, לא אבסולוטי.
אם כבר הבנת שבעזרת מדידות תגלי שהעיקרון נכון, נותר רק לנסות להסביר לך במילים:
כשעצם קטן מאוד, נניח ס"מ רבוע (נישאר בדו-מימד), יש לו ס"מ רבוע אחד של שטח (אין כאן עדיין נפח ממשי, אבל זה כדי להסביר את העיקרון). שטח הפנים שלו, כלומר מה שנוגע בסביבה החיצונית, הוא 4 ס"מ, שזה ההיקף שלו.
4 ס"מ שלמים שנוגעים בסביבה החיצונית בכל עת, לעומת סנטימטר רבוע אחד בלבד של שטח.
היחס הוא 1:4 (כלומר על כל ס"מ רבוע של שטח יש 4 ס"מ של שטח פנים).

עכשיו ניקח ריבוע נוסף, בעל שטח של 2 ס"מ רבועים. אז השטח שלו הוא 2 ס"מ רבועים, אבל שטח הפנים שלו (או ההיקף) הוא 5.66. כאן היחס הוא 1:2.83 (על כל ס"מ רבוע של שטח יש 2.83 ס"מ של שטח פנים).

זה גם הגיוני כי הנפח הוא לא לינארי, כלומר, אם יש לי 2 ס"מ רבועים לא יהיה לי 8 ס"מ של שטח פנים, אלא רק 5.66.
קחי שתי כוסות דומות, אחת בנפח 200 מ"ל והשניה בנפח 400 מ"ל - הכוס של 400 המ"ל אינה גדולה פי 2 מהכוס השניה, נכון?
מלאי את שתיהן במים - כמה מים נוגעים באוויר בכוס של 200 המ"ל? וכמה נוגעים באוויר בכוס של 400 המ"ל? לא פי שניים, נכון? רק קצת יותר.

אני חושב שההיגיון שלך לא מצליח לתפוס את זה מכיוון שלא מדובר בנתון אבסולטי אלא בנתון יחסי. ככל שייצור קטן יותר, כך קשה לו יותר לשמור על חום הגוף יחסית לסביבה, למשל. מדוע? מכיוון שיותר חלקים מהגוף שלו נוגעים באוויר החיצוני מאשר ייצור גדול יותר, שיש לו הרבה יותר נפח פנימי בטמפרטורה נשלטת, יחסית לשטח הפנים שלו.

בתמונה המצורפת תוכלי לראות שהריבוע הימני גדל רק קצת (4 מ"מ בכל כיוון - פחות מחצי ס"מ!) אבל השטח שלו גדול פי שניים.

אני מקווה שעזרתי לך להבין!

 

[Arana]

בהחלט מובן יותר, ותודה על האיור.

 

[sheketz]

שטח פנים הוא ביחס לגודל בריבוע

ונפח הוא ביחס לגודל בחזקה שלישית. כלומר חיה שהיא פי 2 גדולה יותר, שטח הפנים יהיה פי 4 (2 כפול 2) גדול יותר והנפח פי 8 (2 כפול 2 כפול 2).

 

[Arana]

קצר וקולע.

 

[aetzbar]

חישוב מתמטי לא תקף לגבי מעגל על פי ההסבר הבא

מתמטיקאי המנסה לחקור מעגל נבחר, נתקל בצירוף אורכים אקראי של היקף המעגל וקוטרו ,
למה הדבר דומה ? למתמטיקאי הנתקל בצירוף אורכים אקראי של עיפרון וקיסם
המתמטיקאי יודע כי לא קיים חישוב מתמטי לגבי צירוף אורכים של עיפרון וקיסם, ולכן הוא מסיק כי לא קיים חישוב מתמטי לגבי צירוף אורכים אקראי של היקף המעגל וקוטרו.
כל מה שיכול המתמטיקאי להגיד היא זה
אורך העיפרון גדול מאורך הקיסם
אורך ההיקף גדול מאורך הקוטר
וכאן בדיוק מעביר המתמטיקאי את חקירת המעגל לפיסיקאי , ורק הוא מסוגל לדעת פי כמה גדול אורך העיפרון מאורך הקיסם, או פי כמה גדול אורך היקף המעגל מאורך קוטרו.
הפיסיקאי ימדוד את אורך העיפרון, ונניח שהוא קיבל תוצאה של 217 מ"מ
הפיסיקאי ימדוד את אורך הקיסם , ונניח כי הוא קיבל תוצאה של 67 מ"מ
משתי מדידות אלו הוא יודע (בקירוב טוב) םי כמה גדול אורך העיפרון נאורך הקיסם פי 3.238
ואז ימדוד הפיסיקאי את אורך ההיקף ונניח כי הוא קיבל תוצאה של 363 מ"מ
ולאחר מכן הוא יצדוד את אורך הקוטר ונניח שהתוצאה המתקבלת היא 115 מ"מ
משתי מדידות אלו הוא יודע (בקירוב טוב) כי אורך ההיקף גדול מאורך הקוטר פי 3.156

ואולם, הפיסיקאי יודע כי המדידה שלו אינה מושלמת, ולכן הוא מוסיף שתי הערות למדידה
א: המספר האמיתי המדויק והמושלם אינו ידוע
ב: כלל לא ידוע אם אותו מספר אמיתי יופיע בכל המעגלים, או לכל מעגל יש מספר ייחודי אמיתי, האומר
םי כמה גדול ההיקף מהקוטר.

לכן פניתי אל חוכמת ההמונים שתכריע בשאלה המסקרנת שעוד אין הכרעה מדעית לגביה
לכל המעגלים יש מספר יחיד האומר פי כמה גדול ההיקף מהקוטר ?
או לכל מעגל יש מספר ייחודי, ? כאשר הכרח הוא שיהיו הפרשים זעירים בין המספרים הייחודיים.

א.עצבר

 

[רוני1955]

אתה מדבר שטויות.

יש יחס ישיר אחד בלבד בין קוטר המעגל והיקפו. אם ה"מתמטיקאי" מודד את ההיקף והקוטר ומגיע למידות שהיחס ביניהן הוא אקראי, הוא חייב לעשות שלושה דברים, ואלו הם:
להחליף משקפיים.
להחליף כלי מדידה.
לעזוב את המקצוע וללכת למכור נעליים.
הנוסחא שהשתמשו בה לחישוב היחס הזה היא כזו:
פאי (ככה קוראים ליחס הזה) שווה ל N כפול סינוס של (360 חילוק 2N.)
N זה מספר החלוקות שמחלקים את המעגל. כמה שהוא יותר גדול, המספר פאי יהיה יותר מדויק. אין כל קשר לקוטר המעגל או להיקפו. זה נכון ותקף לכל מעגל באשר הוא.

 

[aetzbar]

אין לך ברירה, ואתה מדקלם את מה שמדקלמים אלפי שנים.

שים לב מה אתה עונה
אני שאלתי על קו עגול בהיקף וקו ישר בקוטר, ומאחר שהמתמטיקה לא יודעת לטפל בקו עגול,
היא מחליפה אותו בקטעי קו ישר , ויוצרת משולשים שמהם אתה שואב נוסחה.
אבל נוסחה זו כלל לא מתאימה לטפל בקו עגול

תאר לך מה היה קורה אם שאלת אותי שאלה על משולשים הבנויים מקטעי קו ישר, ואני הייתי עונה לך כך
קודם כל אני אכופף קצת את קטעי קו ישר, ואחרי זה אענה על השאלה.
וזה בדיוק מה שאתה מציע, קודם כל נכופף את קו ההיקף העגול כך שהוא יהיה ישר, ואז אענה לך
כאשר אני משתמש בקטעי קו ישר.

אבל זה אסור לחלוטין
שאלה לגבי קטעי קו ישר צריכה תשובה שלא משנה נתונים
שאלה לגבי קו עגול וקו ישר צריכה תשובה שאינה משנה את הנתונים

אבל זאת המתמטיקה לא מסוגלת לעשות.
לכן, למתמטיקאים אסור לטפל במעגלים, וזכות זו שמורה לפיסיקאים המבצעים מדידות.

א.עצבר

 

[רוני1955]

אהבתי......

יש לי חדשות בשבילך. הפיזיקה מבוססת על מתמטיקה. כשפיזיקאים עושים חישובים, הם מתבססים על מתמטיקה, ולא אומרים "מכיוון שעפרון וקיסם הם במידות אקראיות, אז גם היחס בין הקוטר להיקף המעגל".
המתמטיקאים יודעים שאתה לא מרשה להם לטפל במעגלים?

 

[aetzbar]

המתמטיקאים בטוחים כי חקירת המעגלים שייכת להם, ובטחון זה

עיכב את התפתחות הגיאומטריה.
הגיאומטריה של המעגלים היא חדשה לחלוטין, ורק הפיסיקאים מסוגלים לגלותה.
אבל מה לעשות והמתמטיקאים לקחו בעלות על המעגלים ?
מי יעז להתנגד להם ? הרי למתמטיקה יש מעמד על ?

א.עצבר

 

[arana1]

הקשר בין המתמטיקה והפיזיקה רחוק מלהיות מובן מאליו

למעשה זה אחד הקשרים הכי מסתוריים בקיום

 

[aetzbar]

הקשר בין המתמטיקה והפיסיקה מבוסס על ידיעתו הטבעית

של האדם.
האדם נולד יודע, ובין ידיעותיו הטבעיות קיימת הידיעה הטבעית ששמה המוסכם הוא כמות.
כמות זה שם של ידיעה טבעית, ואי אפשר להסביר במלים מה זה כמות.
באופן טבעי האדם יודע מה זה כמות של מרחק, לפי צעד קטן וצעד גדול
באופן טבעי האדם יודע מה זה כמות של זמן, בהאזינו לפעימות ליבו
הידיעה הטבעית של כמות נמצאת בתת מודע, והאדם פועל על פיה בלי לדעת שהוא פועל על פיה
ואם תשאל אותו איך ? הוא יגיד אני יודע
שלח תלמיד אל מגירת העפרונות ובקש ממנו להביא את העיפרון הארוך ביותר, והוא ידע מה לעשות
כמות זה שם של ידיעה טבעית, וגם צורה וצבע הם שמות של ידיעות טבעיות
לידיעה הטבעית יש חשיבות עצומה בחיים המעשיים של חברה אנושית, ( יש כמות של אנשים , וכמות של מכוניות,
וכמות של מטבעות , וכמות של חדרים , וכמות של אבטיחים , וכמות של ככרות לחם , וכמות של כסאות באולם,
וכמות של כבשים בעדר וכן הלא ללא סוף )
חשיבות עצומה זו הביאה ליצירת שפה כמותית , שהמלים שלה הם מספרים.
המספר סוא שרבוט קו בעל צורה ייחודית ושם מוסכם, והוא מביע על פי הסכם כמות ערטילאית .
בשלב ראשון של ההמצאה מופיעה המשוואה 1 =1
המשוואה אומרת ...הכמות הערטילאית של 1 נודעת מתוך עצמה על פי הסכם ,ולכן 1 = 1
לאחר המצאת 1 נוצרו המספרים הגדולים מ 1 על פי צבירת 1
ו נוצרו המספרים הקטנים מ 1 על ידי חלוקה אחידה של 1
כל מספר הוא שרבוט קו בכל צורה ייחודית וכמות ערטילאית המובנת על פי 1
זוהי השפה שהומצאה במיוחד עבור הידיעה הטבעית ששמה המוסכם הוא כמות, אבל זוהי המצאה
סדידה ולא רציפה. המצאת המספרים לא מסוגלת לבטא באופן מושלם רצף כמותי, והפירוש הוא פשוט
תמיד יהיו כמויות ערטילאיות שלא יהיה להם ייצוג מספרי.

ועתה אל הקשר בין מתמטיקה ופיסיקה
הקשר הזה מבוסס על הידיעה הטבעית ששמה המוסכם כמות
הפיסיקה עוסקת בחומר , אנרגיה , וזמן , שהם "דברים כמותיים"
הגיאומטריה עוסקת במרחק , שטח , ונפח , וגם אלה הם "דברים כמותיים"
לכן , המתמטיקה ( שאני מכנה אותה בשם כמתנות ) מתאימה לעיסוק הפיסיקלי והגיאומטרי, אך
התאמה זו אינה מושלמת.
היא אינה מושלמת, מכיוון ששפת הכמתנות היא בדידה, ושפת הממשות הגיאומטרית והפיסיקלית היא רציפה.

א.עצבר
.