חידה גאומטרית...

[Renatius Cartesius]

חידה גאומטרית...

הוכיכו את נוסחת שטח המעגל באמצעות נוסחת שטח משולש. (מצאתי שתי דרכים לעשות זאת)

 

[niv1990]

אפשר להשתמש בקירוב sinX=X

כשX שואף ל0? אם כן אז הצלחתי...

 

[Renatius Cartesius]

פרט.

 

[יאיר של תמר]

אם..

נשתמש בנוסחה S = sin(a)*a*b/2 ואם נדמיין מצולע משוכלל בעל N צלעות, ונחבר כל קודקוד למרכז המצולע. בזכות העובדה שהוא משוכלל, כל הישרים בין הקודקודים למרכז, בעלי אורך זהה, ונסמנו ב-R. השטח של משולש אחד שקוקדיו שני קודקודים סמוכים, ומרכז המצולע : sin(360/N)*R*R/2 שטח כל המשולשים (שהוא שטח המצולע) הוא הביטוי הנ"ל, כפול N. sin(360/N)*R*R/2*N עכשיו החלק האינטואיטבי... ככל ש-N גדול יותר המצולע דומה למעגל בעל קוטר R. אם N שואף לאינסוף הביטוי הנל שווה ל- PI*R*R (מש"ל)... זה נובע בקלות מהזהות שniv1990 רשם... (sinx=x אם x שואף ל-0)/

 

[יאיר של תמר]

אבל זה "לא חכמה"

כי אנחנו במובלע משתמשים בהמרה בין ראדנים למעלות... שזה כל ה"קטע"..

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif

למישהו יש עוד רעיון?

 

[niv1990]

אממ עוד רעיון די דומה

ניקח הפעם מצולע חוסם, ונוריד ישרים ממרכז המעגל לכל נקודות ההשקה וכל הקודקודים. אם N מס' הקודקודים, יש לי N*2 משולשים. כל משולש שטחו R*Rcos(360/2N)*sin(360/2N)/2 Z הקוסינוס יהיה 1 כי הזווית קטנה ככל שנרצה. R^2*pi/2N עכשיו נכפיל ב2N משולשים.

 

[niv1990]

כן, זה מה שעשיתי ../images/Emo13.gif

זה די הגיוני שכשמספר הצלעות שואף לאינסוף, הקשת "תשאף" להיות זהה למיתר.

 

[Renatius Cartesius]

זה על אתו רעיון...

משהו קצת יותר יצירתי... לא שזה לא היה יצירתי...

 

[niv1990]

מקווה שזה מספיק יצירתי

אחרי שניסתי כמה דברים מספיק יצירתיים כדי שאני לא אדע לחשב אותם

נגדיר על היקף המעגל נקודה o. מנקודה o נוריד קוטר לצד השני. עכשיו נבנה משולש ראשון מהקוטר, ועוד קרן מנקודה o שתיצור זווית X (שואפת ל0). משולש שני נבנה מהקרן, וקרן נוספת גם היא בווית X (וזווית 2X מהקוטר), וכך הלאה. בסופו של דבר נקבל חצי פי חלקי X משולשים (כי נגיע עד זווית חצי פי מהקוטר, במשולש האחרון כשהקרן שואפת להיות משיק). עכשיו לחישובים: עבור X שואף ל0, אנחנו נזניח את ההבדל בין שתי השוקיים, מאחר שהוא קטן ככל שנרצה (נוכל תמיד להוסיף שוק באמצע שתיהיה בעלת הבדל קטן יותר, מקווה שזה יספיק). כל שוק שווה לרדיוס כפול קוסינוס (X כפול מספר המשולשים עד כה) כי הזווית הנשענת היא 90 מעלות. השטח הוא סינוס X כפול השוק בריבוע חלקי 2. = X כפול 4R^2 כפול קוסינוס (X כפול מספר המשולשים עד כה) בריבוע חלקי 2.. התמזל מזלי וX נע בין 0 עד חצי פי (משיק). ציפור קטנה לחשה לי, שהממוצע של קוסינוס בריבוע בין 0 לחצי פי הוא חצי

עכשיו יש לנו X כפול 4R^2 כפול חצי חלקי 2=XR^2. עכשיו בין 0 לחצי פי, נכנסים חצי פי חלקי X משולשים. נכפיל במספר המשולשים ונקבל R^2 כפול חצי פי. עד כה חישבנו את השטח מהצד האחד של הקוטר, מטעמי סימטריה זהו השטח גם בצד השני, ולכן נכפיל ב2 ונקבל: R^2 פי. אני חושב שבסופו של דבר הצורה שסכמתי את שטחה היא אותה הצורה (מצולע משוכלל שמספר צלעותי שואף לאינסוף והוא חסום במעגל), אבל די התקשתי לסכום משהו אחר (היו לי כמה נסיונות עם מעין ריבוע-כוכב בעל 8 שפיצים, 16 שפיצים וכן הלאה).

 

[Renatius Cartesius]

לקחת ברצינות את היצירתיות...

איבדתי אותך באמצע... (אני אעבור שוב על מה שכתבת...) נסה להוכיח את נוסחת שטח המעגל רק באמצעות נוסחת שטח משולש ורק באמצעות נוסחת היקף מעגל.

 

[niv1990]

אם מותר sinX=X אז הבאתי פה "מבחוץ" רק את

הממוצע של cos^2 אני חושב.

 

[טלמון סילבר]

sin(x)=x רק כאשר x=0.

 

[niv1990]

נכון, כוונתי היתה שהוא שואף לX כשX שואף ל0

בפיסיקה הוא שווה גם בX=0.1

 

[טלמון סילבר]

אתה שוקע יותר ויותר

אי אפשר לשאוף למשהו שבעצמו שואף

(ובוואי אינך מדבר על סדרה של פונקציות) וכמובן 0 שואף ל-0

 

[niv1990]

(ההפרש בין X לסינוס X ) כפול פי חלקי X

שואף ל0. ככה זה טוב?

 

[טלמון סילבר]

טוב, אפשר להמשיך. תוכיח את זה.

 

[niv1990]

גם פה עבור משפט משפט אם זה בסדר מבחינתך

קודם כל: tgx=sinx/cosx lim tgx=lim sinx/lim cosx x→0 lim tgx=lim sinX/1 x→0 ובאותה הזדמנות: בנייה: מעגל שמרכזו R=1 o. בנייה: נוריד ממרכז המעגל רדיוס oa. בנייה: רדיוס נוסף ob שיוצר עם הרדיוס oa זווית X. (שני פי חלקי X = שלם). בנייה: bc מאונך לרדיוס oa. משולש obc (זווית obc = חצי פי): sinx=bc/ob sinx=bc/R sinX=bc עכשיו זה קטע שאני לא יודע איך לכתוב אותו כמו שנהוג, אבל אני בהחלט חושב כי הוא מתמטי, אז בבקשה תפסול רק על דברים שאתה יודע שדורשים הוכחה (ולא על כל טעות שהתנסחות שהיא מובנת). בנייה: רדיוס נוסף no2 שיוצר עם הרדיוס ob זווית X. (שני פי חלקי X = שלם). בנייה: n2u2 מאונך לרדיוס ob. משולש on2c (זווית obc = חצי פי): sinx=n2u2/on2 sinx=n2u2/R sinX=n2u2 את כל המשולשים אני יכול לחפוף לפי צ.ז.צ (אתה מאמין לי או להראות את זה?). כך גם לגבי n3, n4 וכו'. כל פעם עם צלע n(m) וn)m-1( והצלע ממנה מורידים את האנך היא הקפיצות של 2 (כל פעם לכיוון הרדיוס n(m)). אחרי שני פי חלקי X רדיוסים, n(שני פי חלקי X) מתלכד עם oa (זווית 2 פי). ומצולע חסום בעל פי חלקי X צלעות. היקף מעגל גדול מהיקף המצולע החסום בתוכו (אני מקווה שזה לא דורש הוכחה). 2πR > 2π/x*sinx 2π/x = מספר הרדיוסים. 2πx > 2πsinx x>sinx אני יכול להביא "הוכחה" (האמת היא שזו הוכחה יותר מפורטת ממה שאני רואה ברוב שיעור מתמטיקה\ספרים למינהם) לכך ש: tgx>x יש צורך בכך?

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo6.gif טוב שניחשתי לקרוא את ההודעה שלך מהסוף

כי הקריאה, כולל הניחושים למה אתה מתכוון באמת כל פעם שאתה כותב דבר לא נכון, זה ממש מייגע. ובכן, הסוף. והתשובה היא כן. בדיוק את זה ( tan(x)>x ) נסה להוכיח מבלי להסתמך על הנוסחה לשטח עיגול. והערה נוספת. אין דבר כזה "בסדר מבחינתך". במתמטיקה יש או "בסדר", או "לא בסדר", או "אינני יודע", וזה לא תלוי ב"בחינתו" של מישהו. פה אי-אפשר לקרוא בעקשנות לשחור לבן וללבן שחור. ובוא נמשיך כאן, בלי לחזור על אותו דבר בתגובות אחרות.

 

[niv1990]

בסדר מבחינתך לא מתיחס לנכונות ../images/Emo6.gif

הוא מתייחס לכך שאני אנסה להוכיח קודם תתי משפטים, ולא את כל הספק הוכחה ספק בלטריסטיקה כאן בבת אחת. בכל מקרה אני צריך לדעת האם מה שכתבתי שהודעה הזו הקודמת הוא מתמטי, בשביל לדעת איך לכתוב את ההוכחה הבאה. נ"ב בתגובה האחרת מדובר בהוכחה(\שגיאה

) שונה (שכלל לא מסתמכת על sinx/x=1).