חידה גאומטרית...

[טלמון סילבר]

קשקוש. החלטת להתחרות בעצבר? ../images/Emo8.gif

או סתם לעשות צחוק מעצמך? תחליט כבר מה אתה רוצה להוכיח, ותנסה לכתוב הוכחה נורמלית. כתבת שאתה רוצה להוכיח ש:

lim (x - sin(x))*π/x = 0 x → 0​

לא כך? אז תוכיח. שאלת אם צריך להוכיח את הטענה שטנגנס x גדול מ-x עבור כל זווית חדה x, או אם אני "מאמין לך" גם ככה? עניתי לך שאינני מאמין לך, ודרשתי שתוכיח את זה. כשכתבתי לך מלכתחילה שה"הוכחה" שלך מופרכת מיסודה, כי היא נשענת על לולאה לוגית, ידעתי מראש שבדיוק הטנגנס הזה יתקע אותך. נראה איך תתפתל עכשיו

 

[niv1990]

לא, לא תודה ../images/Emo8.gif

אני בהחלט מתכוון להוכיח את זה, אבל אני קודם רוצה לדעת אם ההוכחה שלי לכך sinX<x היא נכונה. ההוכחה שלי מתבססת על כך, ואם ההוכחה הקודת שגויה (באופן רציני - לא טעות בניסוח), אז אין טעם להמשיך וחבל שאני אמשיך לבזבז את זמננו. פשוט אני צריך לדעת שההוכחה בקשר לסינוס נכונה, כדי שנוכל להמשיך הלאה.

 

[טלמון סילבר]

לא התעמקתי בהוכחה שלך

על הסינוס - אני מקבל אותה גם מבלי לקרוא אותה. אין טעם להתעסק עם הניסוחים שלך, כאשר העובדה נובעת סה"כ מזה, שהמרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא אורך הקטע הישר המחבר ביניהן.

 

[niv1990]

אבל העניין הוא שהטנגנס זה בערך אותו ניסוח

לנוחיותך אפילו הוספתי שרטוט. בנייה: מעגל שמרכזו R=1 o. בנייה: נוריד ממרכז המעגל רדיוס oa. בנייה: רדיוס נוסף ob שיוצר עם הרדיוס oa זווית X. (שני פי חלקי X = שלם). בנייה: ac מאונך לרדיוס oa. *נקודה c היא נק המפגש בין האנך היוצא מa להמשך הרדיוס ob. משולש oca (זווית obc = חצי פי): tgx=ac/oa tgx=ac/R tgx=ac אני מקווה שבשרטוט יהיה יותר מובן מה עשיתי מעכשיו ( את החפיפה תצטרך לדמיין

). שכחתי שמספר המשולשים צריך להיות זוגי, ולכן השרטוט עקום עוד יותר מבד"כ... בנייה: רדיוס נוסף no3 שיוצר עם הרדיוס ob זווית X. (שני פי חלקי X = שלם). בנייה: n3u3 מאונך לרדיוס ob. *נקודה וu3 היא נק' המפגש בין האנך היוצא מa להמשך הרדיוס ob. משולש on3c (זווית on3c = חצי פי): tgx=cn3/ob tgx=cn3/R tgx=cn3 את כל המשולשים אני יכול לחפוף לפי צ.ז.צ (אתה מאמין לי או להראות את זה?). כך גם לגבי n5, n4 וכו'. כל פעם עם צלע n(m) וn)m-1( ומעבר מm לm(2+2) (כל פעם לכיוון הרדיוס n(m)). אחרי שני פי חלקי X רדיוסים, n(שני פי חלקי X) מתלכד עם oa (זווית 2 פי). ומתקבלים מהאנכים (שגודל כל אחד טנגנס x) מצולע חסום בעל פי חלקי X צלעות. היקף מעגל גדול מהיקף המצולע החסום בתוכו. 2π/x = מספר הרדיוסים. 2πR < 2π/x*tgx x<tgx ההוכחה לא תקפה עבור זוויות גדולות או שוות מפי חלקי 2,כי עבורן אין נקודת מפגש בין האנך לרדיוס. אני אתפלא אם אין לי פה טעות בניסוח. אבל אם כן קראת, אני חושב שאתה כן מנסה להבין למה התכוונתי (או שממש משעמם לך

), אז תעיר לי ואני אנסח מחדש את מה שדרוש. תודה.

 

[טלמון סילבר]

שכחת לצרף את השרטוט.

ההסבר המילולי מלא סתירות, כך שאי-אפשר להבין מה בנית. גם הספרה "3" מבלבלת. נסה לקרוא בעצמך את מה שכתבת.

 

[niv1990]

טעות שלי ../images/Emo163.gif

3 זה מספור הרדיוס (הוא נועד בשביל למנוע בלבול דווקא). סתירות? מעניין, אתה יכול לתת דוגמא? אתה מה שכתבתי קראתי כמה פעמיים ותיקנתי, למרות שאני מודע לכך שזה יותר מסובך שאתה לא יודע מראש מה יהיה כתוב. בכל מקרה, ההיקף של מצולע משוכלל הוא גודל הקטע בין המרכז לאחד הקוקודים, כפול טנגנס הזוית בין הקטע לגובה (המרחק בין צלע למרכז) סמוך כפול מספר הקוקודים כפול 2, אתה רואה למה?

 

[טלמון סילבר]

ובכן,

1. איפה "הוכחה"? 2. בשביל מה צריך כל כך הרבה משולשים. לא מספיק אחד בשביל לתאר את מה שרצית לתאר, אם שאר המשולשים זהים לראשון?

טוב, אבל זה העסק שלך - צייר מה שאתה רוצה, העיקר שתציג סוף-סוף הוכחה. 3. מה זה: "היקף מעגל גדול מהיקף המצולע החסום בתוכו"?! זה מובן מאליו, אבל מה הקשר של זה למה שאתה מנסה להוכיח? ולסיכום: היקף המצולע החוסם את המעגל שווה להיקף המעגל כפול טנגנס x (כנראה את זה כל כך התאמצת להוכיח, למרות שזה בכלל מובן מאליו). השאלה היא, מה הלאה? איפה ההוכחה המובטחת לכך, שטנגנס x גדול מ-x ?

 

[טלמון סילבר]

כבר למדתי ממך לכתוב שטויות ../images/Emo6.gif

ובכן, כנראה כל כך התאמצת להוכיח, זה שהיחס בין היקף המצולע שלך לבין היקף המעגל החסום בו שווה ליחס בין טנגנס הזווית x לבין x. בוא אחסוך לך את המאמצים להוכיח דבר מובן מאליו. אתה מוזמן להמשיך מנקודה זו, ולהוכיח שטנגנס x גדול מ-x עבור הזווית החדה x - אבל מבלי להסתמך על הנוסחה לשטח עיגול.

 

[niv1990]

1. אמרתי כבר שאני כותב חלק חלק

1. אם אתה לא מביע התנגדות לכך. אלא אם כן הכוונה שלך שמה שכתבתי עם הבניות לא מתמטי, אם כן אז תן לי דוגמא למשהו כן מתמטי - כי ככה מלמדים (לפחות בתיכון). 2. שאר המשולשים אכן חופפים לראשון, אני פשוט חשבתי שככה יהיה יותר ברור (לאחר שהתלוננת 3. האם מובן לך מאליו גם מדוע היקף המצולע החוסם גדול מהיקף המעגל? כשאני חושב שזה מובן מאליו אתה מבקש הוכחה וכשאני כותב הוכחה אתה אומר שזה מובן מאליו

 

[טלמון סילבר]

אל תצחיק אותי ../images/Emo6.gif

מה אתה מסתבך בבניית משולשים חופפים, ומנסה "להסביר לי" מדוע הם חופפים?

מה אתה מנסה כל הזמן "להבהיר לקשה תפיסה כמוני", במקום להוכיח את מה שהתיימרת להוכיח?

טוב, סוף-סוף הגענו להשוואת האורך של מצולע החוסם מעגל, עם אורך המעגל הזה. אז עכשיו תוכיח, שאכן היקף המצולע החסום גדול מהיקף המעגל.

איך אתה אפילו לא קולט, שזה בדיוק אותו דבר, כמו... להוכיח שטנגנס x גדול מ-x ?! שפשוט חזרנו לנקודה ממנה התחלנו?

חשבת, שאם תחלק את העיגול ל-2n חלקים שווים, הבעייה שלך תיפתר מאליה?

זה מה שאתה מנסה במאמצים כל כך עילאיים "להסביר לי", שאם נחלק עיגול לחלקים שווים, אז הם באמת יהיו שווים?

"3". כן, לי מובן בהחלט מדוע היקף המצולע החוסם גדול מהיקף המעגל

השאלה הקטנה היא, אם אתה תוכל להוכיח את זה - ומבלי להסתמך על הנוסחה לשטח עיגול!

 

[טלמון סילבר]

תיקון הפסקה השלישית ../images/Emo26.gif

צריך להיות: "אז עכשיו תוכיח, שאכן היקף המצולע החוסם גדול מהיקף המעגל.

" [הייתי חייב לתקן את טעות ההקלדה, כי היא שנתה את המשמעות]

 

[niv1990]

אז ככה ../images/Emo13.gif

צ"ל: היקף מעגל קטן מהיקף מצולע משוכלל. יהי מעגל שמרכזו הנקודה O, חסום במצולע משוכלל בעל n קודקודים. לכל מצולע משוכלל נגדיר פעולה f (ההתיחסת פה היא לכל חלק מהמצולע המשוכלל, אבל הפעולה נעשית על כולו): בנייה: מכל קודקוד נעביר קו ישר לעבר נקודה O, את נקודת החיתוך נסמן כC. בנייה: נוציא משיק מנק' c, אל צלעות המצולע המשוכלל. (ראה שרטוט) את נק' החיתוך נסמן כ a וb (אחת בכל צד). *d יהיה הקודקוד במשולש כלשהו ab<da+db ---- מכל נקודות החיתוך מצולע משוכלל חדש בעל 2n קודודים שהיקפו קטן מהיקף המצולע בעל n הקודקודים. נגדיר זווית coa = x. זווית coa שואפת ל0 כמספר פעולות f שביצענו שואף לאינסוף (אני לא ממש יודע לנסח למה במשפט אחד - אם ההוכחה לא טריוויאלית תגיד לי ואני אנסה). משולש aoc (זווית c =פאי חלקי 2, זווית בין רדיוס למשיק). cosx=od/r od=r/cosx כשמספר הf שביצענו שואף לאינסוף הביטוי הנ"ל שואף ל: od=r נראה לי שיהיה יותר נכון ככה: lim (od) = R f→∞ z (הכוונה פה היא למספר הפעולות). כלומר הגבול של הצורה שלנו שלנו כשמספר הf שואף לאינסוף הוא המעגל, ובכל פעולה ההיקף יורד. אם זה יותר מתמטי אז: לכל נקודה על המעגל, נוכל לתאים נקודת על המצולע באופן חח"ע ועל, כך שעבור כל אורך קטן ככל שנרצה נוכל להתאים מספר פעולות f שהמרחק בין הנקודות יהיה קטן ממנו. נ"ב תפסול בבקשה רק על הסקות שגויות\לא הכרחיות, לא על ניסוח שגוי של משהו אפשרי.

 

[niv1990]

שוב שכחתי...

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo6.gif אם המטרה שלך היא לעייף אותי,

אז כבר הצלחת. כשאתה מכפיל את מספר הצלעות של המצולע המשוכלל החוסם את המעגל, היקף המצולע החדש אכן קטן מהיקף המצולע המקורי. אבל על סמך מה אתה קובע, שסדרת פעולות כאלו תשאיף את היקפי המצולעים הללו להיקף המעגל? ומדוע בכלל החלטת, שהיקפי מצולעים אלה גדולים מהיקף המעגל? בקיצור, אנו עומדים בנקודת הפתיחה.

 

[טלמון סילבר]

אגב,

אם נתייחס לסדרת המצולעים החוסמים כסדרת פונקציות, נניח של הזווית המרכזית, אז אפילו אם סדרה זו שואפת במידה שווה לקבוע R, כלומר למעגל, זה לא אומר שום דבר על אורכי העקומות! הדוגמה הנגדית הפשוטה ביותר היא "פונקציית המסרק", או "המדרגות".

 

[niv1990]

כתבתי למה...

בהחלט יכול להיות ששגיתי, אבל כתבתי ש: משולש aoc (זווית c =פאי חלקי 2, זווית בין רדיוס למשיק). cosx=od/r od=r/cosx כשמספר הf שביצענו שואף לאינסוף הביטוי הנ"ל שואף ל: od=r lim (od) = R f→∞ z (הכוונה פה היא למספר הפעולות). ואני אוסיף: המרחק של כל נקודה על המצולע ממרכז המעגל: גדול שווה לR קטן שווה לOD (מרחק הקודקוד). והראיתי שהגבול הוא OD=R (לפי הגבול של הקוסינוס), וניתן לראות שזה המעגל (כי שOD=R כל הנקודות באותו המרחק מהמרכז). אם בכל פעולה אנחנו מקטינים את ההיקף, ומקרבים אותו להיקף המעגל כך שההבדל בינהם יהיה קטן ככל שנרצה (ולכן קטן גם מהירידה בהיקף בפעולה f כלשהי). אין לי משהו אחר לומר בנושא (שלא מתבסס על נוסחת שטח מעגל או על מה שהוכחתי\לא הוכחתי עד כה), ואם זה שגוי מתמטית אשמח אם תסביר למה. נ"ב מצטער אם בזבזתי את זמנך, אבל עושה רושם שלפחות סיפקתי לך בידור

תודה שתיקנת אותי איפה שצריך. אם אתה לא מבין מה שכתבתי, אז כנראה שאני אחכה ללמוד את העניין כמו שצריך (ולא בצורה שטחית של תיכון) ואז אוכל להבין למה אני טועה או אולי להראות למה אני צודק.

 

[טלמון סילבר]

הסבר בפעם האחרונה,

וזה לא קשור לרמה של תיכון, אלא בהסקה לוגית אלמנטרית. אתה כותב: "אם בכל פעולה אנחנו מקטינים את ההיקף, ומקרבים אותו להיקף המעגל..." ובכן, שוב: מנין לקחת שאנו "מקרבים [את היקף המצולע החוסם] להיקף המעגל"?! ממה זה נובע, ריבונו של עולם?! זה שהמרחק ממרכז המעגל אל הנקודה הכי רחוקה של המצולע שואף לאורך הרדיוס, אינו אומר שום דבר על כך שגם ההיקף מתקרב.

 

[niv1990]

אוקי תודה, אני חושב הבנתי

אני אחשוב על זה עוד קצת

 

[טלמון סילבר]

בוא אעזור לך עם השרטוט שלך ../images/Emo3.gif

יהי מעגל, שמרכזו הנקודה O ורדיוסו שווה 1, חסום במצולע משוכלל בעל n צלעות. נחבר את מרכז המעגל - הנקודה O - עם כל קודקודי המצולע החוסם את המעגל. באופן זה חילקנו את המצולע ל-n משולשים שווי-שוקיים חופפים. נסמן כ-A ו-B שני קודקודים סמוכים של המצולע. אם כך, המשולש OAB הוא אחד מאותם n המשולשים. תהי C נקודת ההשקה של AB עם המעגל. הקטע OC הוא גובה/תיכון/חוצה-זווית במשולש שווה-השוקיים OAB (הבסיס AB, השוקיים OA ו-OB). "זווית-הראש" AOB שווה 2π חלקי n. הזווית AOC שווה 2π חלקי 2n. נסמן גודל זה כ-x. אזי, אורך הקטע AC שווה לטנגנס x. הקטע OA חותך את המעגל בנקודה M. הקטע OB חותך את המעגל בנקודה N. אורך הקשת MC שווה x. צריך להוכיח שטנגנס x גדול מ-x. או, במילים אחרות, צריך להוכיח שאורך הקטע AC גדול מאורך הקשת MC. אם נכפיל את שני הגדלים הללו ב-2n, נקבל טענה שקולה: צריך להוכיח, שהיקף המצולע המשוכלל גדול מהיקף המעגל החסום בו. עכשיו כל מה שנשאר, זה רק... להוכיח את זה.

 

[niv1990]

תודה ../images/Emo140.gif

אני מקווה שתוכל "לתרגם" גם את נסיון ההוכחה הבא (יקח לי כמה זמן לכתוב אותו בצורה שתיהיה מובנת).