../images/Emo35.gif מה זאת אומרת "מה זה אומר לנו"?
זוהי אחת התגליות הגדולות של המדע הבסיסי! בבקשה הסבר קצר. אוקלידס בנה (או סיכם) את יסודות הנדסת המישור ("ההנדסה האוקלידית"), בערך כפי שהם נלמדים כיום בבתי הספר היסודיים והתיכוניים בכל רחבי העולם, עליהם מתבססים גם תחומים רבים אחרים של המתמטיקה. הבסיס של מדע זה הוא האקסיומות: מערכת הגדרות. אוקלידס כבר הגדיר מערכת זו, אמנם לא כמו הילברט במאה ה-20, אבל בערך כך. המילה "פסטולט" אינה אלא כינוי לאקסיומה (הגדרה) שהניסוח שלה קצת ארוך. הפסטולט החמישי של אוקלידס שווה-ערך למה שמכונה היום "אקסיומת המקבילים": דרך כל נקודה במישור, שאינה נמצאת על ישר נתון, עובר ישר אחד בדיוק המקביל לאותו ישר נתון. הניסוח של אוקלידס היה מסורבל עוד יותר, אבל זו בדיוק היתה המהות. בכל מדע חשובה מאוד מערכת ההגדרות (האקסיומות): תאימותן זו לזו, אי-תלותן זו בזו, וכו'. מתמטיקאים רבים בדורות עברו שיערו, שאקסיומת המקבילים "ארוכה מדי" מלהיות בלתי תלוייה בשאר האקסיומות, ו... ניסו להוכיח אותה. במאה ה-19 ניסיונות אלה זכו ליתר תאוצה, והובילו בסופו של דבר לבניית גאומטריות חדשות, לא אוקלידיות, שהתגלו כבלתי סותרות לכשעצמן: גאומטרית לובצ'בסקי, לפיה דרך נקודה מחוץ לישר עוברים ישרים רבים מקבילים לאותו ישר, וגאומטרית רימן, לפיה אין בכלל ישרים מקבילים. בקיצור, אחרי אלפי שנים, התברר והוכח (פשוט ע"י הצגת מודלים), שאוקלידס צדק! שזו אכן אקסיומה בלתי תלויה! שאם תחליף אותה למשהו אחר, כמו לובצ'בסקי או רימן, אז פשוט תקבל גאומטריות אחרות, נכונות גם הן!